Zeige f(x,y) in einer Umgebung um 0 invertierbar und berechne die Ableitung der Umkehrabbildung.

Question

Aufgabe:

Sei $f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}$ gegeben durch
$f\left(x_{1}, x_{2}\right)=\left(\begin{array}{l} 2 x_{1}^{3}-3 x_{1}+x_{2}+x_{2}^{3} \\ x_{1}^{4}+5 x_{1}+8 x_{2}+x_{2}^{4} \end{array}\right) .$
Zeigen Sie, dass $f$ in einer Umgebung $U_{0}$ um 0 invertierbar ist und berechnen Sie $D g$ für $g=\left(\left.f\right|_{U_{0}}\right)^{-1}$

Problem/Ansatz:

$\begin{array}{l} D f\left(x_{1}, x_{2}\right)=\left(\begin{array}{ll} 6 x_{1}^{2}-3, 3 x_{2}^{2}+1 \\ 4 x_{1}^{3}+5, 4 x_{2}^{3}+8 \end{array}\right) \\ D f(0,0)=\left(\begin{array}{cc} -3 & 1 \\ 5 & 8 \end{array}\right), \operatorname{det}\left(\begin{array}{rr} -3 & 1 \\ 5 & 8 \end{array}\right)=-29 \neq 0 \Rightarrow \left(\begin{array}{cc} -3 & 1 \\ 5 & 8 \end{array}\right) \text { ist invertierbar } \end{array}$

Seien $a=(0,0) \in \mathbb{R}^{2}, b:=f(a)=f((0,0))=(0,0)$
Dann existiert eine Umgebung $U_{0} \subset \mathbb{R}^{2}$ von $a$ und eine Umgebung $V_0 \subset \mathbb{R}^{2}$ von $b$, sodass: $f: U_{0} \rightarrow V_{0}$ bijektiv ist. D.h. $f$ ist in einer Umgebung $U_{0}$ von $0$ invertierbar.

Ist das erstmal bis hier hin korrekt? Könnte mir evtl. jemand beim Berechnen von $Dg$ helfen, ich komme da nicht wirklich weiter?

LG

Comments

Zunächst würde ich prüfen, für welche y die Ableitung Dg(y) berechnet werden soll, vielleicht nur Dg(b)? Dann schau nochmal in den Satz, den Du benutzt.

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Also der Satz über Umkehrfunktionen sagt mir, weil das ganze bijektiv, stetig differenzierbar ist, dass:

$$Df^{-1}(b)=(Df(a))^{-1}$$

Das wirkt auf mich jetzt aber wie eine Aussage über eine lokale Stelle. Geht es nicht in der Aufgabe um das berechnen einer allgemeinen Umkehrfunktion?

Schwierigkeiten machen mir nicht die Berechnung von dem ganzen, sondern es liegt vielmehr ein Problem beim Aufgabenverständnis vor.

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Ja, die Formel für die Ableitung der Umkehrfunktion gilt in allen Punkten der Umgebung U_0. Nur für den Punkt b können wir explizit a mit b=f(a) bestimmen und die Ableitung Dg(b) explizit angeben.

Der Aufgabentext verlangt dies allgemein, dann kann es aber nicht explizit sein, weil sich die Umkehrfunktion von f nicht explizit angeben lässt.

Deshalb war meine Frage, ob das der Original-Aufgabentext ist oder eben eigentlich nur Dg(b) verlangt ist.

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Die Aufgabenstellung ist so 1 zu 1 übernommen. Joa ich würde mal aus dem Kontext davon ausgehen, dass das schon für (0,0) gemeint sein soll, weil ich ja eben die Invertierbarkeit in der Umgebung $U_0$ um 0 gezeigt habe. Ist halt für meinen Geschmack irgendwo nicht klar genug formuliert, aber ändern kann ich daran ja auch nichts xD

Answer 1

Hallo,

die Jacobi-Matrix von $f$ lautet: $J_f(x_1,x_2)=\begin{pmatrix} 6x_1-3 & 3x_2^2+1 \\ 4x_1^3+5 & 4x_2^3+8 \end{pmatrix}$. Nach dem lokalen Umkehrsatz gilt, dass $f: \mathbb{R}^2\to \mathbb{R}^2$ in einer Umgebung von $(0,0)$ invertierbar ist, wenn $J_f((0,0))$ invertierbar ist, d. h. die Determinante ungleich 0. Das ist der Fall, soweit also alles richtig:$$\det J_f((0,0))=\det \begin{pmatrix} -3 & 1 \\ 5 & 8 \end{pmatrix}=-29\neq 0$$ Jetzt garantiert der Satz eine offene Umgebung $U$ um $a=(0,0)$ und $V$ um $b:=f(a)$, so dass $f|_U$ einen $C^1$-Diffeomorphismus zwischen $U$ und $V$ vermittelt, d. h. die Umkehrabbildung $g:=f^{-1}: V\to U$ von $f|_U$ ist ebenfalls stetig differenzierbar, und für alle $y\in V$ und $x\in U$  mit $y=f(x)$ gilt: $J_{g}(y)=J_f(x)^{-1}$

Du musst also einfach $J_f$ invertieren. Die inverse Matrix für $2\times 2$ ist eigentlich leicht zu merken:

(1) Vorfaktor $1/\det(J_f)$

(2) Tausche Elemente auf der Hauptdiagonalen

(3) Dreh die Vorzeichen der Nebendiagonalenelemente um.

Comments

Total hilfreiche Antwort, vielen Dank. Eine Rückfrage noch. Muss ich jetzt die Inverse Matrix von $J_f((0,0))$ berechnen, also $\begin{pmatrix} -\frac{8}{29} & \frac{1}{29} \\ \frac{5}{29} & \frac{3}{29} \end{pmatrix}$, oder muss ich das allgemeiner mit $J_f((x_1,x_2))$ zeigen. Da ist aber die Determinate auch eine ganz wilde Nummer, da weiß ich nicht, ob das seine Richtigkeit hat.

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Darauf kann ich nicht antworten. Das hängt von der Aufgabenformulierung ab. Typischerweise berechnet man bei diesen Aufgaben dann die Ableitung der Umkehrabbildung in (0,0), da du die Invertierbarkeit gerade dafür vorher gezeigt hast.