Jacobi-Matrix bestimmen bzgl. einer Basis

Question

Aufgabe:

Sei π_n der Vektorraum aller reellen Polynome von Grad n oder weniger und sei f: π₂ → π₄, P ↦ P². Bestimme die Jacobi-Matrix von f bzgl. der Basis

(1) (1,x,x²)

(2) (1,x,1/2(x² - x))

von π₂ und der Basis 1,x,x²,x³,x⁴ von π₄.

Problem/Ansatz:

Ich weiß leider gar nicht wie ich vorgehen soll und würde mich über Hilfe freuen. Dankeschön.

Answer 1

In Anlehnung an das Beispiel in

https://de.wikipedia.org/wiki/Jacobi-Matrix#Beispiel

sieht das ja aus (mit abc statt xyz)

f(a+bx+cx²)=a²+2abx+(b²+2ac)x³+2bcx^³+c^2x^4

oder eben

$f( \begin{pmatrix} a \\ b \\c \end{pmatrix}) =\begin{pmatrix} a^2 \\ 2ab \\ b^2+2ac \\ 2bc \\ c^2\end{pmatrix}$

Jetzt die partiellen Ableitungen bestimmen:

$f_a(a,b,c)= \begin{pmatrix} 2a \\ 2b \\ 2c \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}$

$f_b(a,b,c)= \begin{pmatrix} 0 \\ 2a \\ 2b \\ 2c \\ 0\end{pmatrix}$

$f_c(a,b,c)= \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 2a \\ 2b \\ 2c\end{pmatrix}$

Das sind dann die Spalten der Matrix.

Comments

Habe es korrigiert.

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Vielen Dank !

Mir ist nur nicht so ganz klar wieso ich

f(a+bx+cx²)=a²+2abx+(b²+2ac)x³+2bcx³+c²x⁴

sagen kann. Die weiteren Schritte und das Aufstellen der Matrix sind dann klar.

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Ah, sorry, jetzt ist mir die Lösung klar geworden. Vielen lieben Dank!

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Wenn ich aber doch nochmal was nachfragen darf. Wie bestimme ich den bei Teilaufgabe (ii) das Polynom welches ich auswerten will ? Bei Teilaufgabe (i) war das ja
a+bx+cx²
Aber was ändert sich jetzt, wenn ich eine andere Basis wähle ?

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Wenn du eine andere Basis wählst,beziehen sich die

Koordinaten a,b,c auf diese anderen Basisvektoren.

Zum Koordinatentripel (a,b,c) gehört dann das

Polynom a+bx+c/2(x²-x)

Das muss du dann quadrieren und auf eine zu

$f( \begin{pmatrix} a \\ b \\c \end{pmatrix}) =\begin{pmatrix} a^2 \\ 2ab \\ b^2+2ac \\ 2bc \\ c^2\end{pmatrix}$

entsprechende Darstellung kommen.