Bestimmen Sie eine Stammfunktion der Funktion f

Question

Aufgabe: Bestimmen Sie eine Stammfunktion der Funktion f mit

$f(x)=\frac{10 x+32}{x^{2}+5 x-6}$

Problem/Ansatz: Könnte mir jemand bitte helfen ich verstehe nur Bahnhof

Answer 1

Mache die Partialbruchzerlegung $\frac{92}{7(x+6)}$-$\frac{22}{7(x-1)}$ und integriere diese.

Answer 2

mit Weg:

https://www.integralrechner.de/

Answer 3

Aloha :)

Bei dieser Funktion $f(x)$ lässt sich der Nenner in Linearfaktoren zerlegen:$$(x^2+5x-6)=(x+6)\cdot(x-1)$$Daher bietet sich vor der Integration eine Partialbruchzerlegung an:$$f(x)=\frac{10x+32}{x^2+5x-6}=\frac{10x+32}{(x+6)(x-1)}=\frac{A}{x+6}+\frac{B}{x-1}$$Die Konstanten $A$ und $B$ erhalten wir, indem wir die Gelichung beim letzten Gleichheitszeichen mit dem Nenner multiplizieren:$$\frac{10x+32}{(x+6)(x-1)}\cdot(x+6)(x-1)=\left(\frac{A}{x+6}+\frac{B}{x-1}\right)\cdot(x+6)(x-1)$$$$10x+32=A(x-1)+B(x+6)$$Wenn wir $x=-6$ einsetzen, verschwindet $B$:$$10\cdot(-6)+32=A\cdot(-7)\implies A=4$$Wenn wir $x=1$ einsetzen, verschwindet $A$:$$10\cdot1+32=B\cdot7\implies B=6$$

Damit haben wir die Funktion $f(x)$ in Partialbrüche zerlegt:$$\frac{10x+32}{x^2+5x-6}=\frac{4}{x+6}+\frac{6}{x-1}$$Das lässt sich sehr leicht integrieren:$$\int\frac{10x+32}{x^2+5x-6}\,dx=\int\frac{4}{x+6}\,dx+\int\frac{6}{x-1}\,dx=4\ln|x+6|+6\ln|x-1|+C$$