Differentiation Problem (Ana 2)

Question

Aufgabe:

Sei $f: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}$ stetig differenzierbar. Sei $a \in \mathbb{R}^{n}$ derart, sodass für alle $i \in\{1, \ldots, n\}$ $\frac{\partial f}{\partial x_{i}}(a) \neq 0$ gilt

definiere $M=\left\{x \in \mathbb{R}^{n} \mid f(x)=f(a)\right\}$. Für beliebiges $x=\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right) \in \mathbb{R}^{n}$ bezeichnen wir mit $\hat{x}_{i}=\left(x_{1}, \ldots, x_{i-1}, x_{i+1}, \ldots, x_{n}\right) \in \mathbb{R}^{n-1}$ den Vektor ohne die $i$-te Koordinate. Nach dem Satz über implizite Funktionen lässt sich jede Koordinate $x_{i}$ von $x \in M$ in einer Umgebung $U$ von $a$ als differenzierbare Funktion $\varphi_{i}$ der restlichen Koordinaten $\hat{x}_{i}$ darstellen, d.h., es gilt:

$x \in M \Longleftrightarrow x_{i}=\varphi_{i}\left(\hat{x}_{i}\right)$

zu zeigen ist:

$\frac{\partial \varphi_{1}}{\partial x_{2}}\left(\hat{x}_{1}\right) \cdot \frac{\partial \varphi_{2}}{\partial x_{3}}\left(\hat{x}_{2}\right) \cdot \ldots \cdot \frac{\partial \varphi_{n-1}}{\partial x_{n}}\left(\hat{x}_{n-1}\right) \cdot \frac{\partial \varphi_{n}}{\partial x_{1}}\left(\hat{x}_{n}\right)=(-1)^{n}$

Problem/Ansatz:

Hat jemand einen Tipp für mich oder kennt vielleicht ein hilfreiches Theorem, mit dem ich arbeiten kann?
Ich danke euch im Voraus für jede Hilfe!