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Seien ||·||(j), j ∈ {1,2}, zwei beliebige Normen auf ℝn. Begründen Sie, dass

m = min{ ||x||(2) | ||x||(1) = r }, r > 0, existiert und m > 0 gilt.

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Die r-Sphäre \(S_r\) unter der Norm (1) ist kompakt, daher nimmt die

Norm (2) dort ihr Minimum an; denn die Norm (2) ist stetig.

Dieses Minimum ist also >0; denn alle Elemente von \(S_r\)

haben eine Norm (2), die >0 ist.

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