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Aufgabe:

1) Gegeben seien drei Punkte a,b,cR2, a, b, c \in \mathbb{R}^{2}, die nicht auf einer gemeinsamen Geraden liegen. Zeige: Es existiert genau ein p0R2 p_{0} \in \mathbb{R}^{2} mit ap02=bp02=cp02 \left\|a-p_{0}\right\|_{2}=\left\|b-p_{0}\right\|_{2}=\left\|c-p_{0}\right\|_{2} und es gilt
Ma,bMb,cMa,c={p0} M_{a, b} \cap M_{b, c} \cap M_{a, c}=\left\{p_{0}\right\}

Die Mittelsenkrechten schneiden sich also im Umkreismittelpunkt p0 p_{0} des Dreiecks Δ(a,b,c). \Delta(a, b, c) . Der U U mkreisradius ist dann R=ap02 R=\left\|a-p_{0}\right\|_{2}

2) Nun seien a=(10)b=(21)c=(22) a=\left(\begin{array}{l} 1 \\ 0 \end{array}\right) \quad b=\left(\begin{array}{l} 2 \\ 1 \end{array}\right) \quad c=\left(\begin{array}{l} 2 \\ 2 \end{array}\right)

Bestimme Umkreismittelpunkt und Umkreisradius des Dreiecks Δ(a,b,c) \Delta(a, b, c)

Mittelsenkrechten schneiden sich im Umkreismittelpunkt
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Ma,bMb,cMa,cM_{a, b} \cap M_{b, c} \cap M_{a, c}

Parameterdarstellung von Ma,bM_{a,b} und Mb,cM_{b,c} gleichsetzen. Das hast du bestimmt schon in der Schule so gemacht. Das ist hier nichts anderes.

Anschließend Punktprobe ob der Schnittpunkt auch auf der Geraden Ma,cM_{a,c} liegt.

ap02=bp02=cp02\left\|a-p_{0}\right\|_{2}=\left\|b-p_{0}\right\|_{2}=\left\|c-p_{0}\right\|_{2}

Den gefundenen Punkt einsetzen. Eindeutigkeit folgt aus der Eigenschaft der Mittelsenkrechten.

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Könnte ich bitte einen Lösungsansatz bekommen?

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