Berechnen Sie den Flächeninhalt A.

Question

Aufgabe:

Die Randkurve der skizzierten Kurve wird in Polarkoordinaten durch
folgende Gleichungen beschrieben:

r = 2 (cos(ϕ) + sin(ϕ))    0 ≤ ϕ ≤ π/2

Berechnen Sie den Flächeninhalt A.

Problem/Ansatz:

Muss ich mit Doppelintegral rechnen?

Comments

Wieso Doppelintegral, was wäre das zweite?

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was wäre das zweite?

Das kommt auf deine Nummerierung an.

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Der Rand der grauen Fläche ist vermutlich ein Kreis um (1|1) mit dem Radius √2. Die graue Fläche ist dann 2π-|2\( \int\limits_{0}^{2} \)(1-\( \sqrt{x^2+2x+1} \)) dx| =π+2.

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Der Rand der grauen Fläche ist vermutlich ein Kreis um (1|1) mit dem Radius 2

Diese Vermutung ist falsch.

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Es ist ein Kreisbogen mit dem Radius \(r=\sqrt 2\). Also ist die Fläche ein Kreis, von dem zwei Kreisegmente mit je \(\alpha=\pi/2\) abgeschnitten wurden. Die Fläche \(A\) ist folglich$$A = \pi r^2 - 2\left(\frac{r^2}2(\alpha - \sin(\alpha))\right) = 2\pi - 2\left(\frac{\pi}2-1\right) = \pi + 2$$

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@Werner: Du hast Recht. Ich hatte mich verschrieben.

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... man benötigt hier noch nicht einmal die Kenntnis über die Fläche eines Kreissegments. Das dem Kreis einliegende Quadrat hat den Flächeninhelt \(A_Q=2\cdot 2 = 4\). Die Kreissegmente die dazu kommen, sind genau so goß wie die beiden, die zum vollständigen Kreis noch fehlen.

Folglich ist die gesuchte Fläche \(A\) das arithmetische Mittel von Quadrat und Kreis$$A = \frac12(A_Q+A_K) = \frac12(4 + \pi(\sqrt 2)^2) = \pi +2$$

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Mit Doppelintegral :

A = ∫ [0 bis π/2]  ∫ [0 bis r(φ)] ρ dρ dφ  =   ∫ [0 bis π/2]  1/2 ρ^2 | [0 bis r(φ)]  dφ 

=   ∫ [0 bis π/2]  2*(sin φ + cos φ)^2   dφ  =  2* (1 + sin^2 φ) | [0 bis π/2] =  π + 2

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Mit Doppelintegral : ...

was SuperMario IMHO wirklich helfen würde, wäre nicht das Doppelintegral, sondern eine Skizze des Flächeninkrements \(\text dA\) mit Bemassung desselben in dem Bild aus der Aufgabenstellung.

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Möglicherweise würde ihm auch ein Beweis, dass die Randkurve der vermutete Kreisbogen ist, helfen.

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Wenn die Randkurve der vermutete Kreisbogen ist, dann kann man den Flächeninhalt elemenargeometrisch finden.

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Wenn die Randkurve der vermutete Kreisbogen ist, ....

was leicht zu zeigen ist, mit \(\cos\phi = \frac xr\), \(\sin\phi=\frac yr\) und \(r^2=x^2+y^2\). Das gibt$$\begin{aligned} r&= 2(\cos\phi + \sin\phi)\\ r &= 2\left(\frac{x}r+\frac{y}r\right) &&|\,\cdot r\\r^2 &= 2(x+y)\\ x^2+y^2 &= 2x+2y &&|\,-2x-2y\\ x^2-2x +y^2 -2y &= 0 &&|\,+2\\ x^2-2x+1 +y^2-2y+1 &= 2\\ (x-1)^2 + (y-1)^2 &= \left(\sqrt 2\right)^2 \\ \left( \vec x - \begin{pmatrix} 1\\ 1\end{pmatrix}\right)^2 &= \left(\sqrt 2\right)^2\end{aligned}$$Kreisgleichung mit Mittelpunkt bei \((1\mid 1)\) und Radius \(\sqrt 2\)

... dann kann man den Flächeninhalt elemenargeometrisch finden.

ist oben schon geschehen, mit $$A = \frac12(A_Q + A_K)$$