Berechnen Sie den Flächeninhalt A.

Question

Aufgabe:

Die Randkurve der skizzierten Kurve wird in Polarkoordinaten durch
folgende Gleichungen beschrieben:

r = 2 (cos(ϕ) + sin(ϕ))    0 ≤ ϕ ≤ π/2

Berechnen Sie den Flächeninhalt A.

Problem/Ansatz:

Muss ich mit Doppelintegral rechnen?

Comments

Wieso Doppelintegral, was wäre das zweite?

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was wäre das zweite?

Das kommt auf deine Nummerierung an.

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Der Rand der grauen Fläche ist vermutlich ein Kreis um (1|1) mit dem Radius √2. Die graue Fläche ist dann 2π-|2$\int\limits_{0}^{2}$(1-$\sqrt{x^2+2x+1}$) dx| =π+2.

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Der Rand der grauen Fläche ist vermutlich ein Kreis um (1|1) mit dem Radius 2

Diese Vermutung ist falsch.

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Es ist ein Kreisbogen mit dem Radius $r=\sqrt 2$. Also ist die Fläche ein Kreis, von dem zwei Kreisegmente mit je $\alpha=\pi/2$ abgeschnitten wurden. Die Fläche $A$ ist folglich$$A = \pi r^2 - 2\left(\frac{r^2}2(\alpha - \sin(\alpha))\right) = 2\pi - 2\left(\frac{\pi}2-1\right) = \pi + 2$$

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@Werner: Du hast Recht. Ich hatte mich verschrieben.

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... man benötigt hier noch nicht einmal die Kenntnis über die Fläche eines Kreissegments. Das dem Kreis einliegende Quadrat hat den Flächeninhelt $A_Q=2\cdot 2 = 4$. Die Kreissegmente die dazu kommen, sind genau so goß wie die beiden, die zum vollständigen Kreis noch fehlen.

Folglich ist die gesuchte Fläche $A$ das arithmetische Mittel von Quadrat und Kreis$$A = \frac12(A_Q+A_K) = \frac12(4 + \pi(\sqrt 2)^2) = \pi +2$$

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Mit Doppelintegral :

A = ∫ [0 bis π/2]  ∫ [0 bis r(φ)] ρ dρ dφ  =   ∫ [0 bis π/2]  1/2 ρ² | [0 bis r(φ)]  dφ 

=   ∫ [0 bis π/2]  2*(sin φ + cos φ)²   dφ  =  2* (1 + sin² φ) | [0 bis π/2] =  π + 2

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Mit Doppelintegral : ...

was SuperMario IMHO wirklich helfen würde, wäre nicht das Doppelintegral, sondern eine Skizze des Flächeninkrements $\text dA$ mit Bemassung desselben in dem Bild aus der Aufgabenstellung.

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Möglicherweise würde ihm auch ein Beweis, dass die Randkurve der vermutete Kreisbogen ist, helfen.

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Wenn die Randkurve der vermutete Kreisbogen ist, dann kann man den Flächeninhalt elemenargeometrisch finden.

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Wenn die Randkurve der vermutete Kreisbogen ist, ....

was leicht zu zeigen ist, mit $\cos\phi = \frac xr$, $\sin\phi=\frac yr$ und $r^2=x^2+y^2$. Das gibt$$\begin{aligned} r&= 2(\cos\phi + \sin\phi)\\ r &= 2\left(\frac{x}r+\frac{y}r\right) &&|\,\cdot r\\r^2 &= 2(x+y)\\ x^2+y^2 &= 2x+2y &&|\,-2x-2y\\ x^2-2x +y^2 -2y &= 0 &&|\,+2\\ x^2-2x+1 +y^2-2y+1 &= 2\\ (x-1)^2 + (y-1)^2 &= \left(\sqrt 2\right)^2 \\ \left( \vec x - \begin{pmatrix} 1\\ 1\end{pmatrix}\right)^2 &= \left(\sqrt 2\right)^2\end{aligned}$$Kreisgleichung mit Mittelpunkt bei $(1\mid 1)$ und Radius $\sqrt 2$

... dann kann man den Flächeninhalt elemenargeometrisch finden.

ist oben schon geschehen, mit $$A = \frac12(A_Q + A_K)$$