Zeigen Sie, dass die Gleichung mindestens eine reelle Lösung im Intervall besitzt

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie, dass die Gleichung

\( \frac{(x-1) e^{x}}{x^{2}-3}=\sin (x) \)

mindestens eine reelle Lösung im Intervall \( \left[-1, \frac{3}{2}\right] \) besitzt.

Answer 1

Sei \(f(x) = \frac{(x-1) e^{x}}{x^{2}-3}-\sin (x)\).

Berechne \(f(0)\).

Berechne \(f(1)\).

Verwende den Zwischenwertsatz.

Answer 2

Vermute die Lösung in der Nähe von x=\( \frac{1}{3} \) und folgere dann die Existenz dieser Lösung.

Answer 3

\(\frac{(x-1) e^{x}}{x^{2}-3}=\sin (x) \)

x=-1

\(\frac{(-1-1) e^{-1}}{(-1)^{2}-3}=1/e>0   >\sin (-1) \)

x=+1

\(\frac{(1-1) e^{1}}{1^2-3}=0 <\sin (1)\)

usw.

:-)