Bestimme die Höhe des Turmes?

Question

Ein Berghang ist um 10° gegen die Horizontale geneigt. Auf einer Spitze steht ein Turm unbekannter Höhe. Von einem bestimmten Punkt des Hanges aus sieht man die Turmspitze unter einem Winkel von 25° (gemessen zwischen Blickrichtung und Horizontale!), geht man eine Strecke a=40m den Berg hinauf, dann erscheint die Turmspitze unter dem Winkel 40° ( wieder zwischen Blickrichtung und Horizontale gemessen!). Bestimme die Höhe des Turmes?

Comments

Gibt es dazu eine Skizze? Wahrscheinlich muss man auch mit den Strahlensätzen arbeiten!

Answer 1

Ich mache dazu mal eine kleine Skizze und berechne das ganze mit dem Sinussatz:

Answer 2

Hier eine Skizze:

Aus der Skizze ergibt sich mit dem Sinussatz:

$$\frac { h }{ sin(15°) } =\frac { |BF|+40 }{ sin(65°) }$$und$$\frac { h }{ sin(30°) } =\frac { |BF| }{ sin(50°) }$$$$\Leftrightarrow$$$$h=\frac { (|BF|+40)*sin(15°) }{ sin(65°) }$$und$$h=\frac { |BF|*sin(30°) }{ sin(50°) }$$Gleichsetzen:$$\Leftrightarrow \frac { (|BF|+40)*sin(15°) }{ sin(65°) } =\frac { |BF|*sin(30°) }{ sin(50°) }$$Auflösen nach |BF|:$$\Leftrightarrow (|BF|+40)*sin(15°)*sin(50°)=|BF|*sin(30°)*sin(65°)$$$$\Leftrightarrow |BF|*sin(15°)*sin(50°)+40*sin(15°)*sin(50°)=|BF|*sin(30°)*sin(65°)$$$$\Leftrightarrow 40*sin(15°)*sin(50°)=|BF|*sin(30°)*sin(65°)-|BF|*sin(15°)*sin(50°)$$$$\Leftrightarrow 40*sin(15°)*sin(50°)=|BF|*(sin(30°)*sin(65°)-sin(15°)*sin(50°))$$$$\Leftrightarrow |BF|=\frac { 40*sin(15°)*sin(50°) }{ sin(30°)*sin(65°)-sin(15°)*sin(50°) } =31,114m$$Daraus folgt für h (siehe oben):$$\Rightarrow$$$$h=\frac { |BF|*sin(30°) }{ sin(50°) } =\frac { 31,114*sin(30°) }{ sin(50°) } =20,31m$$

 

EDIT:

Herrje, man kann's wirklich kompliziert machen ... :-)

Einfacher ist es so:

Da der Winkel ASB  65 ° - 50 ° = 15 ° groß ist, ist das Dreieck ASB ein gleichschenkliges Dreieck. Daher ist

| BS | = | BA | = 40 m

und es gilt einfach nach dem Sinussatz:

$$\frac { |BS| }{ sin(100°) } =\frac { h }{ sin(30°) }$$$$\Leftrightarrow \frac { 40 }{ sin(100°) } =\frac { h }{ sin(30°) }$$$$\Leftrightarrow h=\frac { 40*sin(30°) }{ sin(100°) }$$$$\Leftrightarrow h\approx 20,31m$$