Bestimme c1, c2 Fibonacci Zahlen

Question

Aufgabe:

iv) Zeige, dass für alle $n \geq 1$ gilt:
$A^{n}=\left(\begin{array}{cc} a_{n-1} & a_{n} \\ a_{n} & a_{n+1} \end{array}\right), \quad \text { mit } \quad a_{n}=c_{1} \tau+c_{2} \tau^{-1},$
wobei $c_{1}, c_{2} \in \mathbb{R}$ explizit zu bestimmen sind.
Prüfe nach, dass die Zahlenfolge $\left\{a_{n}\right\}$ rekursiv durch
$a_{1}=1, a_{2}=1, \quad a_{n}:=a_{n-1}+a_{n-2} \quad \text { für } n>1$
gegeben ist. Fibonacci $(1170-1250)$ hat diese Zahlenfolge eingeführt, um das Wachstum einer Kaninchenbevölkerung zu beschreiben.

Problem

Ich habe ein Problem mit der Aufgabe iv

Wie kann ich c1,c2 Berechnen ?

Ist damit die Formel von Binet gemeint? Würde da nicht noch ein Hoch n fehlen?

Answer 1

Die Fibonaccifolge lässt sich wie folgt darstellen

(I) $a_{n} = \frac{1}{\sqrt{5}} * (λ_{1}^n - λ_{2}^n) = \frac{1}{\sqrt{5}} *( (\frac{1+\sqrt(5)}{2})^n - (\frac{1-\sqrt(5)}{2})^n) = c_{1} * λ_{1} + c_{2}* λ_{2}$

$λ_{1}$ und $λ_{2}$ sind die Eigenwerte der Matrix $\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$.

Der Beweis für (I) ist länglich und findet sich im Internet.

Für jedes $a_{n}$ erhält man somit unterschiedliche $c_{1} = \frac{1}{\sqrt{5}} λ_{1}^{n-1}$ und $c_{2} = -\frac{1}{\sqrt{5}} λ_{2}^{n-1}$.

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Durch Induktion ist zu zeigen:

$\begin{pmatrix} a_{n-1} & a_{n} \\ a_{n} & a_{n+1}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}^n$

In der Aufgabe beginnt man mit n = 1. Ohne Beschränkung beginnt die Lösung mit n = 0 und $a_{0} =0$, denn $a_{2} = a_{0} + a_{1}$

n = 1:

$\begin{pmatrix} a_{0} & a_{1} \\ a_{1} & a_{2}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{0} & a_{1} \\ a_{1} & (a_{0} + a_{1} ) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}^1$

n → n+1:

$\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}^{n+1} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}^n * \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ =

$\begin{pmatrix} a_{n-1} & a_{n} \\ a_{n} & a_{n+1}\end{pmatrix} * \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ =

$\begin{pmatrix} a_{n} & (a_{n-1} + a_{n}) \\ a_{n+1} & (a_{n} + a_{n+1})\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{n} & a_{n+1} \\ a_{n+1} & a_{n+2}\end{pmatrix}$

Answer 2

Ist damit die Formel von Binet gemeint? Würde da nicht noch ein Hoch n fehlen?

Das kommt mir auch so vor.

Dann wären c1=1/√5  und c2=-1/√5.

Comments

Danke für die schnelle Antwort

Aber müsste dann nicht c2= (-1/Wurzel(5) )* (-1)ⁿ sein ?

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Ich habe es von

https://de.wikipedia.org/wiki/Fibonacci-Folge#Formel_von_Moivre-Bine…