Wie lautet die Fourierreihe?

Question

Aufgabe Die Funktion $f(x)=x \cos (x)$ sei im Bereich $x \in(-\pi, \pi)$ gegeben und periodisch mit dieser Periode. Wie lautet die entsprechende Fourierreihe?
Hinweis: Es gilt $\cos (x) \sin (k x)=\frac{1}{2}[\sin ((k+1) x)+\sin ((k-1) x)]$.

Problem/Ansatz: Knn mir jemand hierbei helfen wie man die fourierreihe macht

Answer 1

Wegen f(x) = -f(-x) fallen die Cosinus-Anteile $a_{k}$ weg.

$b_{k} = \frac{2}{T} \int\limits_{0}^{T} x*cos(x) * sin( \frac{2π}{T}*k*x) dx$

$b_{k} = \frac{1}{π} \int\limits_{0}^{2π} x*cos(x) * sin( k*x) dx$

$b_{k} = \frac{1}{π} \int\limits_{0}^{2π} x*\frac{1}{2}*( sin(k*x-x) + sin(k*x +x )) dx$

Zwischenberechnung (I):

$\int\limits_{0}^{2π} x* sin(k*x-x) dx = \frac{sin((k - 1) x)}{(k - 1)^2} - \frac{x cos((k - 1) x)}{k - 1} [0,2π]$

$\int\limits_{0}^{2π} x* sin(k*x-x) dx = - \frac{2π* cos((k - 1) 2π)}{k - 1} = - \frac{2π}{k - 1}$

Zwischenberechnung (II dito):

$\int\limits_{0}^{2π} x* sin(k*x+x) dx = - \frac{2π}{k + 1}$

aus (I) und (II) folgt

$b_{k} = \frac{1}{π} * \frac{1}{2} * ( -\frac{2π}{k - 1} - \frac{2π}{k + 1} ) = -\frac{2k}{k^2-1}$ für k > 0

Comments

Hallo, erstmal danke dass du mir geholfen hast und zwar hätte ich da ein paar Fragen und zwar wie bist du auf die Grenzen 2 pi und 0 gekommen

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2. wie bist du auf die 1/pi gekommen

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3. warum verschwindet 2pi/T in der ersten Zeile ?

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Und warum fallen die cosinus Anteile weg ach tut mir leid das ich so viele Fragen habe

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T steht für die Periode, und die ist 2pi: 2/T = 2/(2pi) 1/pi.

Bei punktsymmetrischen Funktionen sind alle a(k) = 0, ( f(x) = -f(-x) ). Das ist keine Spezialität, sondern bei der Entwicklung der Fourier-Reihe gängige Praxis.

Die Integralgrenzen betreffen die Periode [0,T] = [0,2pi], können aber auch gleichmäßig verschoben werden, z.B. [-pi, +pi]. Das Ergebnis bleibt gleich.

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Ich habe genau die selbe Aufgabe und zwar Mathe 53 könntest du mir vielleicht die zwischenberechnung bei 1 erklären bin da etwas überfordert mit gewesen

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Das undefinierte Integral bei (I) habe ich mit einem Integralrechner berechnet. Für das definierte Integral gilt dann

$\int\limits_{0}^{2π} x* sin(k*x-x) dx = \frac{sin((k - 1) x)}{(k - 1)^2} - \frac{x cos((k - 1) x)}{k - 1} [0,2π] =$

$[ \frac{sin((k - 1)*2π)}{(k - 1)^2} - \frac{2π*cos((k - 1)*2π)}{k - 1} ] - [ \frac{sin((k - 1) *0)}{(k - 1)^2} - \frac{0*cos((k - 1) *0)}{k - 1} ]$

erster Term ist 0, denn sin(2π*n) = 0

zweiter Term ist $\frac{-2π}{k-1}$, denn cos(2π*n) = 1

dritter Term ist 0

vierter Term ist 0

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Die Lösung ist falsch, es muss über $(-\pi,\pi)$ integriert werden.