f sei stetig und f(0)=f(1). Zeigen Sie, dass es dann ein c ∈ [0, 1/2 ] gibt mit f (c) = f (c + 1/2 ).

Question

Aufgabe:

Die Funktion f : [0, 1] → ℝ sei stetig und es gelte f (0) = f (1). Zeigen Sie, dass es dann
ein c ∈ [0, 1/2 ] gibt mit f (c) = f (c + 1/2 ).

Problem/Ansatz:

Ich habe es hier schon mit dem Epsilon-Delta Kriterium versucht, bin aber auf kein Ergebnis gekommen. Wie kann man diese Aufgabe lösen? Wäre für Hilfe dankbar.

Comments

g(x) := f(x) - f(x + 1/2) ist stetig auf [0, 1/2]

Es gilt g(0) = f(0) - f(1/2)

g(1/2) = f(1/2) - f(1)

also g(0) + g(1/2) = f(0) - f(1) = 0 => g(0) = -g(1/2)

Was passiert wenn g(0) = 0 ist?

Was falls g(0) ≠ 0?

Answer 1

Wir betrachten die auf $[0,1/2]$ stetige Funktion

$g(x)=f(x)-f(x+1/2)$:

Wäre $g(x)>0$ für alle $x\in [0,1/2]\quad (*)$,

dann wäre

$0<g(0)=f(0)-f(1/2)=f(1)-f(1/2)=-(f(1/2)-f(1))=-g(1/2)$,

d.h. $g(1/2)<0$ im Widerspruch zu $(*)$.

Ebenso führt die Annahme $g(x)<0$ für alle $x\in [0,1/2]$

zu einem Widerspruch. Es gibt also $x_1,x_2\in [0,1/2]$ mit

$g(x_1)<0,\; g(x_2)>0$ oder ein $c\in [0,1/2]$ mit $g(c)=0$

Der Zwischenwertsatz liefert dann im ersten Fall ein

$c\in [0,1/2]$ mit $g(c)=0$, d.h. $f(c)=f(c+1/2)$.