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Aufgabe:

Sei f : [a, b] → R stetig und positiv. Zeigen Sie, dass dann die folgende Ungleichung gilt:

$$\int \limits_{a}^{b}f(x)dx *\int \limits_{a}^{b}\frac{1}{f(x)}dx\geq (b-a)^{2}$$


Problem/Ansatz:

Hallo :)

ich sehe wirklich nicht wie man auf diese Ungleichung kommen soll. Ich bin für jede Hilfestellung dankbar !

von

Kennst Du die Cauchy-Schwarz-Ungleichung?

@Mathhilf ja die kenne ich

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Die Cauchy–Schwarz–Ungleichung besagt

\( \sum\limits_{k=1}^{n}{a_k}^2 * \sum\limits_{k=1}^{n}{b_k}^2 >= (\sum\limits_{k=1}^{n}{a_k*b_k})^2 \)

Setzt man

\( a_k^2 = f(a+\frac{k(b-a)}{n})*\frac{b-a}{n} \)

\( b_k^2 = 1/f(a+\frac{k(b-a)}{n})*\frac{b-a}{n} \)

dann folgt

(I) \( a_k*b_k = \frac{b-a}{n} \)

(II) \( \sum\limits_{k=1}^{n}{a_k}^2 * \sum\limits_{k=1}^{n}{b_k}^2 >= (\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{b-a}{n} )^2 = (b-a)^2 \)

Für \( n → ∞ \) entspricht (II) folgendem Ausdruck:

\( \int\limits_{a}^{b} f(x)dx * \int\limits_{a}^{b} \frac{1}{f(x)}dx >= (b-a)^2 \)
___________________________________________________________

Es gibt eine andere Abschätzung, die sich leichter beweisen lässt:

Sei

\( min <= f(x) <= max \), x € [a,b], min > 0, max > 0

daraus folgt

\( \frac{1}{max} <= \frac{1}{f(x)} <= \frac{1}{min} \)

weiter gilt

\( \int\limits_{a}^{b} f(x)dx >= min * (b-a) \)
\( \int\limits_{a}^{b} \frac{1}{f(x)}dx >=  \frac{1}{max} * (b-a) \)

daraus folgt

\( \int\limits_{a}^{b} f(x)dx * \int\limits_{a}^{b} \frac{1}{f(x)}dx >= \frac{min}{max}(b-a)^2 \)

und umgekehrt gilt

\( \int\limits_{a}^{b} f(x)dx * \int\limits_{a}^{b} \frac{1}{f(x)}dx <= \frac{max}{min}(b-a)^2 \)


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