Außer den Lösungen y=0,x=2 undy=1,,x=4 gibt es keine weiteren. Zunächst schreiben wir die Gleichung in die Form:
3⋅5y=2x Beweis durch unendlichen Abstieg: Aus
2x−1≡0mod3 folgt x gerade, also von der Form 2t. Damit gilt
2x−1=(2t−1)(2k+1), also
2t±1=3i5j,i∈{0,1},j≤y. Im Fall "-" ergibt sich für i=1 wie oben t gerade, im Fall i=0 ergibt sich
2t≡1mod5 also
t≡0mod4 (der Fall j=0 liefert ein bereits bekanntes Ergebnis). t ist also immer gerade. Im Fall "+" ergibt sich für i=1
t≡1mod2, was nach dem gerade gezeigten nicht sein kann. Damit muss
2t−1=3⋅5j,j≤l gelten. Führt man dies nun weiter (unendlicher Abstieg) teilt jede 2-er Potenz x, ein Widerspruch.