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Warum gibt es kein x für y>=2, für das gilt: (5y*3)+1=2x für x Element der natürlichen Zahlen und y Element der natürlichen Zahlen größer gleich 2. Oder gibt es doch (außer x=2 und x=4, aber dafür wäre y

 

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aus Duplikat:

Nachdem ich eine relativ komplexe Aufgabe zur Untersuchung einer gebrochen rationaler Folge stark vereinfacht habe, stehe ich nun vor dem Problem herauszufinden für welche m und n größer/gleich 0 folgende Gleichung stimmt:

2n-1=3*5m.

 

Die Paare (n=2 / m=0) und (n=4 / m=1 ) sind ja schnell gefunden. Nun gilt es aber auch zu beweisen, dass es keine anderen mehr gibt.

Für 2n-1=5m habe ich bereits bewiesen, dass außer n=1 / m=0 keine weiteren Paare existieren. Für den anderen Fall fehlen mir aber ehrlich gesagt die Ideen. Und genau um diese bitte ich auch, da ich ungern ohne nachzudenken die Ideen Anderer kopiere.

 

Schon mal danke im Voraus,

Gruß Matthias

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was für Methoden stehen denn zur Verfügung, was ist dein Kenntnisstand?
Alles ist erlaubt. Ich bin sogar studierter Mathematiker, aber offensichtlich arg eingestaubt.
Die einfachste (vielleicht aber schwierigste) Methode: Suche die Frage bei Mathelounge.de über die Suche oder so. Sie ist schon 2 Mal vorhanden und ich habe heute Morgen die beiden Fragen verlinkt. Bsp.

https://www.mathelounge.de/94898/warum-gibt-es-kein-x-fur-5-y-3-1-2-…

und

https://www.mathelounge.de/95750/fur-welche-ganzen-m-und-n-grosser-g…

Alternative: Beginne mit https://www.wolframalpha.com/input/?i=2%5En+-1%3D3*5%5Em+

1 Antwort

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Außer den Lösungen y=0,x=2 undy=1,,x=4 gibt es keine weiteren. Zunächst schreiben wir die Gleichung in die Form: 35y=2x 3\cdot 5^y=2^x Beweis durch unendlichen Abstieg: Aus 2x10mod  32^x-1 \equiv 0 \mod 3 folgt x gerade, also von der Form 2t. Damit gilt 2x1=(2t1)(2k+1)2^x-1=(2^t-1)(2^k+1), also 2t±1=3i5j,i{0,1},jy2^t\pm 1=3^i5^j , i\in \{0,1\}, j\leq y. Im Fall "-" ergibt sich für i=1 wie oben t gerade, im Fall i=0 ergibt sich 2t1mod  52^t \equiv 1 \mod 5 also t0mod  4t\equiv 0 \mod 4 (der Fall j=0 liefert ein bereits bekanntes Ergebnis). t ist also immer gerade. Im Fall "+" ergibt sich für i=1 t1mod  2t\equiv 1 \mod 2, was nach dem gerade gezeigten nicht sein kann. Damit muss 2t1=35j,jl2^t-1= 3\cdot 5^j, j \leq l gelten. Führt man dies nun weiter (unendlicher Abstieg) teilt jede 2-er Potenz x, ein Widerspruch.
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