Auf dem ℝ3 definierte Funktion F(x, y, z) bestimmen

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie eine auf dem $\mathbb{R}^{3}$ definierte Funktion $\ F(x, y, z)$ mit  $\nabla F(x,y,z) = \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix}$

Problem/Ansatz:

Hallo. Leider stehe ich bei der voranstehenden Aufgaben sehr auf dem Schlauch und wäre um jede Hilfe dankbar.

Answer 1

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Wir überlegen uns zuerst, wie der Gradient einer Funktion $f(r)$ lautet, die nur vom Betrag $r$ des Vektors $\vec r=(x_1;x_2;x_3)^T$ abhängt. Die $i$-te Komponente dieses Gradienten finden wir mit der Kettenregel:$$\operatorname{grad}_if(r)=\frac{\partial f}{\partial r}\frac{\partial r}{\partial x_i}=\frac{\partial f}{\partial r}\frac{\partial }{\partial x_i}\sqrt{x_1^2+x_2^2+x_3^2}=\frac{\partial f}{\partial r}\frac{2x_i }{2\sqrt{x_1^2+x_2^2+x_3^2}}=\frac{\partial f}{\partial r}\frac{x_i }{r}$$Da $f(r)$ nur von $r$ abhängt, können wir beim Zusammenbau des Gradienten auch $f'(r)$ anstatt $\frac{\partial f}{\partial r}$ schreiben:$$\operatorname{grad}f(r)=f'(r)\begin{pmatrix}x_1/r\\x_2/r\\x_3/r\end{pmatrix}=f'(r)\,\frac{1}{r}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=f'(r)\,\frac{1}{r}\,\vec r$$$$\operatorname{grad}f(r)=f'(r)\cdot\vec r^0$$Diese Formel ist in vielen praktischen Fällen extrem nützlich, bitte merken!

In deinem Fall hier gilt:$$\operatorname{grad} F(r)\stackrel!=\vec r=r\cdot\vec r^0\quad\implies\quad F(r)=\frac12r^2+C=\frac12(x^2+y^2+z^2)+C$$

Answer 2

hallo

weisst du denn, was ∇F ist? dahinsteht da doch ∂F/∂x=x

woraus du schließen kannst F=x²/2+C(y,z)

als nächstes dann ∂F/∂y=∂C/∂y=y also C(x,y)0y²/2+c(z)

jetzt bist du dran: mit ∂F/∂z

Gruß lul