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Wir überlegen uns zuerst, wie der Gradient einer Funktion \(f(r)\) lautet, die nur vom Betrag \(r\) des Vektors \(\vec r=(x_1;x_2;x_3)^T\) abhängt. Die \(i\)-te Komponente dieses Gradienten finden wir mit der Kettenregel:$$\operatorname{grad}_if(r)=\frac{\partial f}{\partial r}\frac{\partial r}{\partial x_i}=\frac{\partial f}{\partial r}\frac{\partial }{\partial x_i}\sqrt{x_1^2+x_2^2+x_3^2}=\frac{\partial f}{\partial r}\frac{2x_i }{2\sqrt{x_1^2+x_2^2+x_3^2}}=\frac{\partial f}{\partial r}\frac{x_i }{r}$$Da \(f(r)\) nur von \(r\) abhängt, können wir beim Zusammenbau des Gradienten auch \(f'(r)\) anstatt \(\frac{\partial f}{\partial r}\) schreiben:$$\operatorname{grad}f(r)=f'(r)\begin{pmatrix}x_1/r\\x_2/r\\x_3/r\end{pmatrix}=f'(r)\,\frac{1}{r}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=f'(r)\,\frac{1}{r}\,\vec r$$$$\operatorname{grad}f(r)=f'(r)\cdot\vec r^0$$Diese Formel ist in vielen praktischen Fällen extrem nützlich, bitte merken!
In deinem Fall hier gilt:$$\operatorname{grad} F(r)\stackrel!=\vec r=r\cdot\vec r^0\quad\implies\quad F(r)=\frac12r^2+C=\frac12(x^2+y^2+z^2)+C$$
