Zeige dass die Funktion ein Minimum bestitz

Question

Sei P ein Polynom auf ℝ^d, das mindestens einen negativen Wert annimmt.

(a) Zeige, dass die Funktion ein Minimum besitz.

Answer 1

Hallo,

es sei

$$f(x):=\frac{P(x)}{\exp(\|x\|^2)} \quad \text{ und } f(a)=w<0$$

Ich setze als bekannt voraus, dass die Exponentialfunktion schneller wächst als jedes Polynom, also $f(x) \to 0$ für $x \to \pm \infty$. Also existiert $r>0$ mit

$$\|x\|>r \Rightarrow f(x)>w$$

Auf der Menge $D:=\{x\mid \|x\| \leq r\}$ nimmt f ein Minimum an, sagen wir mit f(b)=v. Weil $a \in D$, ist $v \leq w$ und b ist globales Minimum.

Gruß Mathhilf