Für jede reelle quadratische Matrix

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie:
a) Für jede invertierbare reelle quadratische Matrix P ist P^⊤P positiv definit.
b) Eine Matrix A ∈ Matn(R) ist genau dann positiv definit, wenn A symmetrisch ist und alle Eigenwerte von A positive reelle Zahlen sind.

Problem/Ansatz:

hättet ihr vielleicht eine Idee danke

Answer 1

Sei P eine invertierbare reelle quadratische nxn-Matrix

und x∈ℝⁿ \ {0}.

Dann ist $P \cdot x$ ≠ 0, weil P invertierbar ist; denn

$P \cdot x = 0$ ==>    $x = P^{-1} \cdot 0 = 0$ im Widerspruch

zu x∈ℝⁿ \ {0}.

Betrachte also   $x^T \cdot ( P^T \cdot P ) \cdot x$. Es ist zu zeigen, dass

dies immer positiv ist. Es gilt

$x^T \cdot ( P^T \cdot P ) \cdot x = (x^T \cdot P^T) \cdot ( P \cdot x )$

$= (P \cdot x )^T \cdot ( P \cdot x )$

und wegen   $P \cdot x$ ≠ 0 wird hier also ein von

0 verschiedener Zeilenvektor mit dem Spaltenvektor, der

die gleichen Komponenten hat, multipliziert. Das gibt die

Summe der Quadrate der Komponenten. Da der Vektor

nicht 0 ist, ist mindestens eine Komponente nicht 0, also

das Produkt größer oder gleich dem Quadrat dieser Komponente,

also positiv.   q.e.d.

Answer 2

a) Der Spektralsatz gibt uns eine orthogonale Matrix $V$ und eine Diagonalmatrix $D$ bestehend aus den Eigenwerten von $\mathbf{P}$. Wenn $\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{n}$ also die Eigenwerte von $\mathbf{P}$ sind (alle sind reell), gilt also
$\begin{aligned} \operatorname{det}\left(\mathbf{P}^{\top} \mathbf{P}\right) \neq 0 & \Longleftrightarrow \operatorname{det}\left(\left(\mathbf{V}^{\top} \mathbf{D V}\right)^{\top}\left(\mathbf{V}^{\top} \mathbf{D V}\right)\right) \neq 0 \\ & \Longleftrightarrow \operatorname{det}\left(\mathbf{V}^{\top} \mathbf{D}^{2} \mathbf{V}\right) \neq 0 \\ & \Longleftrightarrow \operatorname{det}\left(\mathbf{V}^{\top} \operatorname{diag}\left(\lambda_{1}^{2}, \ldots, \lambda_{\mathfrak{n}}^{2}\right) \mathbf{V}\right) \neq 0 \\ & \Longleftrightarrow \operatorname{det}\left(\operatorname{diag}\left(\lambda_{1}^{2}, \ldots, \lambda_{\mathfrak{n}}^{2}\right)\right) \neq 0 \\ & \Longleftrightarrow \forall 1 \leqslant \mathrm{k} \leqslant \mathrm{n}: \lambda_{k}^{2} \neq 0 \\ & \Longleftrightarrow \forall 1 \leqslant \mathrm{k} \leqslant \mathrm{n}: \lambda_{\mathrm{k}}>0 \end{aligned}$

b) $\Longrightarrow$ wurde schon in "a)" gezeigt. Für die andere Richtung sei $A$ eine symmetrisch positiv definite Matrix (man kann positive Definitheit auch für nicht symmetrische Matrizen definieren, daher muss dass eigentlich noch vorausgesetzt werden). Dann gilt für die Eigenwerte, dass sie reell sind und weiterhin für einen Eigenvektor $v$, welcher zu $\lambda$ gehört
$v^{\top} \mathrm{A} v>0 \Longleftrightarrow v^{\top} v \lambda>0 \Longrightarrow \lambda>0$

Nachtrag: Alle Eigenwerte einer symmetrischen reellen Matrix sind reell, da für einen beliebigen Eigenwert $\lambda$ und einem dazugehörigen Eigenvektor $v$ gilt (wir müssen nun natürlich mit einer Sesquilinear Form über $\mathbb{C}$ arbeiten):
$\langle A v, A v\rangle>0 \Longleftrightarrow v^{\mathrm{H}} A^{\mathrm{H}} \mathrm{A} v=v^{\mathrm{H}} A^{2} v=\lambda^{2} v^{\mathrm{H}} v>0$
und $v^{\mathrm{H}} v>0$ ist $\lambda^{2}$ reell, da $\langle A v, A v\rangle$ reell ist.