Taylorapproximation Differenzierbarkeit Hilfe

Question

Aufgabe:

Hi Freunde, es geht um Aufgabe drei und vier.
Kann mir da bitte jemand helfen?

3. Aufgabe
Berechnen Sie für $f(x)=\sqrt{2+x}$ die Taylorpolynome 2. und 4. Grades mit Entwicklungspunkt $x_{0}=0$. Bestimmen Sie dazu zunächst die $n$-te Ableitung von $f$. Schätzen Sie den Approximationsfehler des Taylorpolynom 2. Grades für $|x|<\frac{1}{2}$ ab.
4. Aufgabe
Gegeben sei die Funktion $f(x)=e^{x} \cos (x)$. Approximieren Sie die Funktion $f$ durch ihr Taylorpolynom 3. Grades mit dem Entwicklungspunkt $x_{0}=0$ und zeigen Sie, dass der Fehler auf dem Intervall $\left[-\frac{1}{100}, \frac{1}{100}\right]$ kleiner als $10^{-8}$ ist, d.h. $\left|f(x)-T_{3}(x)\right| \leq 10^{-8}$, für alle $x \in\left[-\frac{1}{100}, \frac{1}{100}\right]$.

Comments

Du könntest doch bei a schonmal 3 Ableitungen berechnen...

Answer 1

Ableitungen bei a) : Da bekomme ich:

$f ' (x) = \frac{1}{2} (x+2)^{-\frac{1}{2}}$

$f '' (x) = \frac{-1}{4} (x+2)^{-\frac{3}{2}}$

Für das Taylorpolynom 2. Grades sollte das

schon mal reichen.

T₂(x) = f(0) +  f ' (0) * x  +  f ' ' (0) *  x² / 2!

Setze ein und bestimme das Polynom. Dann

versuche mal Grad 4.