Regeln von de L'Hospitalsche

Question

Aufgabe:

Seien \( f, g:(a, b) \rightarrow \mathbb{R} \) stetig differenzierbar und sei \( g^{\prime}(x) \neq 0 \) für \( x \in(a, b) \). Außerdem gelte \( \lim \limits_{x \rightarrow b} f(x)=\lim \limits_{x \rightarrow b} g(x)=0 \)
Beweisen Sie, dass falls \( \lim \limits_{x \rightarrow b} \frac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)}=: \lambda \) existiert, dann bereits
\( \lim \limits_{x \rightarrow b} \frac{f(x)}{g(x)}=\lim \limits_{x \rightarrow b} \frac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)}=\lambda \)
folgt.
Bemerkung: Damit haben wir eine Möglichkeit gefunden, Grenzwerte zu bestimmen, die von der Form \( ,,\frac{0}{0} “ \) sind. Eine ganz analoge Aussage gilt auch für Grenzwerte der Form \( \ {\infty}/{\infty} \).

Problem/Ansatz:

Hallöchen, ich bin nun bei der letzte Aufgabe und sitze nun hier dran fest. Ich verstehe immer noch nicht wie genau Regeln von L'Hospitalsche funktioniert. Hoffentlich kann mir jemand weiterhelfen.

Answer 1

Erweitere den Definitionsbereich von \( f \) und \( g \) stetig auf \( (a, b] \) mittels \( f(b)=g(b)=0 \). Sei nun \( \epsilon>0 \) beliebig, so existiert per Definition ein \( \delta>0 \) mit
\(\begin{aligned} \forall x \in(b-\delta, b):\left|\frac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)}-\lambda\right|<\epsilon .\end{aligned} \)
Sei nun \( b-\delta<u<v< \) d so gilt wegen des Satzes von Cauchy
\(\begin{aligned} \frac{f(u)-f(v)}{g(u)-g(v)}=\frac{f^{\prime}(\xi)}{g^{\prime}(\xi)}, \quad \xi \in(u, v) .\end{aligned} \)
Dann ist
\(\begin{aligned} =\left|\frac{f(u)-f(v)}{g(u)-g(v)}-\lambda\right|=\left|\frac{f^{\prime}(\xi)}{g^{\prime}(\xi)}-\lambda\right|<\epsilon .\end{aligned} \)
Diese Ungleichung gilt für alle \( v \in(u, b) \) und wegen \( \lim \limits_{x \rightarrow b} f(x)=\lim \limits_{x \rightarrow b} g(x)=0 \) gilt also
\(\begin{aligned} \left|\frac{f(u)}{g(u)}-\lambda\right|<\epsilon\end{aligned} \)
womit folgt
\(\begin{aligned} \lim \limits_{u \rightarrow b} \frac{f(u)}{g(u)}<\epsilon .\end{aligned} \)
Ich meine in der obigen Betrachtung lediglich den linksseitigen Limes.