Partielle Differenzierbarkeit, Gradient und Hesse-Matrix

Question

Aufgabe.

Bestimmen Sie die Bereiche, auf denen Funktionen partiell differenzierbar sind und geben Sie darauf deren Gradient und Hesse-Matrix an:

(a) $f(x, y, z)=\exp \left(x^{2}-y^{2}\right)+x z^{2}$

(b) $g(x, y)=\cos (3 x y-\pi)+x^{y}-\pi$.

Problem/Ansatz:

Hallo, ich weiß nicht wie ich bei dieser Aufgabe vorgehen soll.

Danke im voraus.

Answer 1

Aloha :)

Die Funktion$$f\colon\mathbb R^3\to\mathbb R\,,\,f(x;y;z)=e^{x^2-y^2}+xz^2$$ist auf ihrem gesamten Definitionsbereich stetig partiell differenzierbar.

$$\operatorname{grad}f(x;y;z)=\begin{pmatrix}\partial_xf\\\partial_yf\\\partial_zf\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2xe^{x^2-y^2}+z^2\\[1ex]-2ye^{x^2-y^2}\\[1ex]2xz\end{pmatrix}$$

Da die Hesse-Matrix symmetrisch ist, brauchen wir nur die obere oder untere Dreiecksmatrix tatsächlich zu berechnen und können die fehlenden Einträge symmetrisch eintragen:$$H_f(x;y)=\begin{pmatrix}\operatorname{grad}(\partial_x f)\\[1ex]\operatorname{grad}(\partial_y f)\\[1ex]\operatorname{grad}(\partial_z f)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}(4x^2+2)e^{x^2-y^2} & -4xye^{x^2-y^2} & 2z\\[1ex]-4xye^{x^2-y^2} & (4y^2-2)e^{x^2-y^2} & 0\\[1ex]2z & 0 & 2x \end{pmatrix}$$

Die Funktion$$g\colon\mathbb R^{>0}\times\mathbb R\to\mathbb R\,,\,g(x;y)=\cos(3xy-\pi)+x^y-\pi=-\cos(3xy)+x^y-\pi$$hat einen limitierten Definitionsbereich, da $x^y=e^{y\ln(x)}$ nur für $x>0$ definiert ist. In diesem Definitionsbereich ist die Funktion $g$ stetig partiell differenzierbar.

$$\operatorname{grad}g(x;y)=\begin{pmatrix}\partial_xg\\\partial_yg\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3y\sin(3xy)+yx^{y-1}\\[1ex]3x\sin(3xy)+x^y\ln(x)\end{pmatrix}$$

$$H_g(x;y)=\begin{pmatrix}\operatorname{grad}(\partial_x g)\\[1ex]\operatorname{grad}(\partial_y g)\end{pmatrix}=\cdots$$

Die Freude am Ausrechnen der zweiten Hesse-Matrix möchte ich dir nicht nehmen. Die Ableitungen sind nicht schwierig, aber viel Tipparbeit.

Answer 2

Hast du grundsätzlich Schwierigkeiten die partiellen Ableitungen zu bilden?

Verwende evtl. eine Seite wie https://www.ableitungsrechner.net zur Hilfe und Selbstkontrolle.

Hier nur der Gradient von a) zur Kontrolle:

https://www.wolframalpha.com/input?i=grad%28e%5E%28x%5E2-y%5E2%29%2B…

$\operatorname{grad}\left(e^{x^{2}-y^{2}}+x z^{2}\right)=\left(2 x e^{x^{2}-y^{2}}+z^{2},-2 y e^{x^{2}-y^{2}}, 2 x z\right)$