Lineare Unabhängigkeit beweisen mithilfe Linearkombination

Question

Aufgabe:

Sei x∈ℝ

Es gilt: v1,v2,v3 ∈ℝⁿ und k2,k3 ∈ℝ

w1=v2; w2=v2-kw1; w3=v3-k3v2

Zu zeigen: span (v1,v2,v3)=> span(w1,w2,w3)

Problem/Ansatz:

Hallo, kann uns bitte jemand bei der Lösung dieser Aufgabe helfen?

Herzlichen Dank im Voraus!

Comments

Soll das heißen:

span(w1,w2,w3) ist ein Unterraum von span(w1,w2,w3) ?

Und was ist das k ? Ist das k2 ?

Und mit linear unabhängig hat das nix zu tun ?

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Und: Steht bei der Definition von w2 rechts w1 oder v1?

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Text erkannt:

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Ich habe es nun etwas besser aufgeschrieben. Uns ist nicht ganz klar, wie wir weiterverfahren sollen.

Answer 1

Ich nehme mal a statt Lambda :

$x=a_1v_1+a_2v_2+a_3v3$

und $w_1 = v1 ; w_2=v_2-k_2v_1 ; w_3=v_3-k_3v_2$

bzw.   $v_2=w_2+k_2v_1 ; v_3=w_3+k_3v_2$

und das Einsetzen war doch eine gute Idee:

$x=a_1w_1+a_2(w_2+k_2v_1)+a_3(w_3+k_3v_2 )$

Klammern auflösen

$x=a_1w_1+a_2w_2+a_2k_2v_1+a_3w_3+a_3k_3v_2$

und nochmal die v ersetzen

$x=a_1w_1+a_2w_2+a_2k_2w_1+a_3w_3+a_3k_3(w_2+k_2v_1)$

und das nochmal

$x=a_1w_1+a_2w_2+a_2k_2w_1+a_3w_3+a_3k_3(w_2+k_2w_1)$

$x=a_1w_1+a_2w_2+a_2k_2w_1+a_3w_3+a_3k_3w_2+a_3k_3k_2w_1$

Jetzt noch ordnen

$x=a_1w_1+a_2k_2w_1+a_3k_3k_2w_1+a_2w_2+a_3k_3w_2 +a_3w_3$

und ausklammern

$x=(a_1+a_2k_2+a_3k_3k_2)w_1+(a_2+a_3k_3)w_2 +a_3w_3$

und man erkennt, dass es die gesuchten μ1,  μ2  und μ3

wirklich gibt, und kann sie angeben.

Answer 2

$w_1=v_1,\; w_2=v_2-k_2v_1,\; w_3=v_3-k_3v_2$

zeigt, dass $w_1,\, w_2, \, w_3 \in Span(v_1,v_2,v_3)$ sind, also

$Span(w_1,w_2,w_3)\subseteq Span(v_1,v_2,v_3)\quad (1)$

Andererseits haben wir

$v_1=w_1 \in Span(w_1,w_2,w_3)$.

$v_2=w_2+k_2w_1\in Span(w_1,w_2,w_3)$.

$v_3=w_3+k_3v_2=w_3+k_3w_2+k_3k_2w_1 \in Span(w_1,w_2,w_3)$, also

$v_1,v_2,v_3\in Span(w_1,w_2,w_3)$, folglich

$Span(v_1,v_2,v_3) \subseteq Span(w_1,w_2,w_3)\quad (2)$

$(1)$ und $(2)$ liefern die Gleichheit

$Span(v_1,v_2,v_3)=Span(w_1,w_2,w_3)$.