Hallo,
auf Deine andere Frage wurde Dir ja schon gezeigt, wie man grundsätzlich Potentiale bestimmen kann.
Wenn wir das hier mal machen und die erste Komponente des Feldes nach x integrieren, dann benutzen wir eine Stammfunktion G von g und erhalten
$$P(x,y)=\arctan(\frac{x}{y})+G(xy)$$
und man rechnet nach, dass \(\nabla P=F\). Allerdings bleibt noch das Problem, dass P für y=0 nicht definiert ist.
Zu (ii) Wir haben
$$x^2+y^2<2y \iff x^2+(y-1)^2<1$$
Also handelt es sich um das Innere des Kreises um (0,1) mit Radius 1. Dort ist y>0 und P ist ein Potential.
Zu (i) Hier handelt es sich um das Innere des Kreises um (1,0) mit Radius 1. Es gilt dort:
$$\lim_{y \to 0+}\arctan(\frac{x}{y})=0.5 \pi, \qquad \lim_{y \to 0-}\arctan(\frac{x}{y})=-0.5 \pi$$
Mit dieser Information basteln wir uns ein Potential:
$$Q(x,y):=P(x,y)-0.5 \pi \text{ für }y>0 \qquad Q(x,y):=P(x,y)+0.5 \pi \text{ für } y<0$$
mit stetiger Ergänzung durch 0 für y=0.
Zu (iii) Die Funktion Q definiert tatsächlich ein Potential auf ganz \(\mathbb{R}^2\) ohne die "negative x-Achse". Denn dort ist Q unstetig, weil sich die o.g. Grenzwerte für negatives x gerade umkehren. Für (iii) existiert daher kein Potential.
Gruß Mathhilf
