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Aufgabe:

Man zeige, dass jede nichtleere, endliche Menge reeller Zahlen ein Maximum besitzt.

Ansatz/Problem:

Ich kann mir vorstellen, dass es durch Induktion möglich wäre, es zu beweisen. Jedoch fällt mir nicht ein, wie genau ich das machen soll bzw. wie genau es funktioniert.
Hat jemand eine Idee?

MfG

vor von

2 Antworten

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Sei M eine nicht leere endliche Teilmenge von ℝ.

1. M ist nach oben beschränkt.

Bew.: Da M nicht leer ist, gibt es ein xo∈M.

Da xo+1 keine obere Schranke ist, gibt es ein x1∈M mit x1 > xo+1 ,

also insbesondere größer als  xo.

Da x1+1 keine obere Schranke ist, gibt es ein x2∈M mit x2 > x1+1 ,also insbesondere 
größer als  x1.   …..

Auf diese Weise entsteht eine unendliche Folge von paarweise verschiedenen Elementen aus

M im Gegensatz zu: M ist endlich.

2. Jede nach oben beschränkte Teilmenge von ℝ besitzt ein Supremum s∈ℝ.

Dieses ist das Maximum. Denn wäre es das nicht, dann betrachte (mit dem xo von oben)

und mit εo = |x0-s| die Umgebung von s mit dem Radius  εo . Da jede  ε-Umgebung des Supremums

ein Element von M enthält, gibt es ein x1 ∈ M in dieser Umgebung von s. Dieses Element ist

weder s (Da s nicht in M.) noch xo (Da  |s-xo| nicht kleiner als εo ist.  Also ist x1 ungleich xo.

Und mit ε1 = |x1-s| <εo  kann man wie oben den Prozess fortsetzen:

Die  ε1 - Umgebung von s enthält ein x2∈ M. Dieses ist (s.o.) weder gleich  s noch gleich x1. etc.

So erhält man wieder eine unendliche Folge verschiedener Elemente von M. Widerspruch!

vor von 176 k 🚀
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Führe den Beweis indirekt. Angenommen eine nichtleere, endliche Menge reeller Zahlen besitzt kein Maximum. Dann gibt es zu jedem Element der Mege eines, dass größer ist und auch zur Menge gehört. Damit hat die Menge unendlich viele Elemente. Das ist ein Widerspruch zur Annahme.

vor von 64 k 🚀

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