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Aufgabe:

Berechnen sie die Länge der Kardiode $$r(x)=1+cos(x); x\in\left[0,2\pi\right]dx$$

Die Länge ist gegeben durch:

$$L=\int \limits_{a}^{b}\sqrt{r^2(x)+r'(x)^2}dx$$

Problem/Ansatz:

Eingesetzt ergibt dass dann ja

$$L=\int \limits_{0}^{2\pi} \sqrt{(1+cos(x))^2+sin^2(x)}dx$$
Dann mit cos^2(x)+sin^2(x)=1 wird es zu

$$L=\int \limits_{0}^{2\pi} \sqrt{2+2cos(x)}dx$$
Dann ziehe ich die 2 raus und komme auf
$$L= \int \limits_{0}^{2\pi}\sqrt{2}*\sqrt{1+cos(x)}dx$$

Um leichter zu integrieren wende ich dann die Identität $$cos(x/2)=\sqrt{\frac{1+cos(x)}{2}}$$ an und komme auf:
$$L=\int \limits_{0}^{2\pi}2\sqrt{cos(x/2)}dx$$

Nun muss ich nurnoch integrieren, und hier liegt irgendwie mein Problem. Ich komme auf:
$$L=4sin(x/2)$$ mit den Grenzen [0,2pi]
Wenn ich diese nun einsetze komme ich auf $$L=4*[sin(\pi)-sin(0)]=0$$ da sin(pi) und sin(0) gleich 0 sind.
In der Musterlösung steht aber dass die Lösung 8 betragen muss, und ein Integralrechner im Internet sagt das selbe.
Hat das etwas damit zu tun, dass der positive und der negative Anteil vom Sinus sich zwischen [0,2pi] auusgleicht?
Es wäre nett wenn mir jemand erklären könnte, wo ich hier den Fehler gemacht habe.

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2 Antworten

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Beste Antwort

Eigentlich hast du alles richtig gemacht, nur die Formel cos(x/2)= ... gilt nicht für x/2>pi

du kannst aber einfach 2 mal das Integral bis pi nehmen, denn ab da wiederholt sich ja die eigentliche Funktion

denn cos(x/2)<0 für x>pi während die Wurzel immer positiv ist.

Gruß lul

Avatar von 106 k 🚀

Vielen Dank für die Hilfe, jetzt ist alles klar :)

Eine Frage:

Ich kenne die Kurvenlänge so, dass unter der Wurzel 1 + f'(x)^2 steht und nicht

f(x)^2 + f'(x)^2

Warum ist das hier anders?

Warum ist das hier anders?

weil das \(x\) hier kein kartesisches \(x\) sondern der Winkel \(\theta\) (oder \(\varphi\)) ist. Die Kardiode ist in Polarkoordinaten gegeben. Besser müsste es heißen$$L=\int \limits_{\theta_1}^{\theta_2}\sqrt{r^2(\theta)+\left(\frac{\text dr}{\text d\theta}(\theta)\right)^2}\,\text d\theta$$siehe hier (ab Seite 3 unten)

Ah, verstehe, hatte mir schon sowas gedacht.

Danke!

Im link sogar mit obigem Beispiel. :-)

Das eine lässt sich ins andere umformen :

√(1 + y'(x)^2) dx =  √(1 + (dy/dx)^2) dx =  √((dx)^2 + (dy)^2)  =  √( (d(r·cos φ))^2 + (d(r·sin φ))^2)

=   √( (cos φ dr - r·sin φ dφ)^2 + (sin φ dr + r·cos φ dφ)^2 )

=  √( (cos φ dr)^2 - 2 r cos φ sin φ dr dφ + (r sin φ dφ)^2
      + (sin φ dr)^2 + 2 r cos φ sin φ dr dφ + (r cos φ dφ)^2 )

=  √( (dr)^2 + (r dφ)^2 )  =  √( (dr/dφ)^2 + r^2 ) dφ = √(r'^2 + r^2) dφ

Cool! Danke!

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Für welchen Wertebereich x gilt denn deine benutzte Identität

COS(x/2) = √((1 + COS(x))/2)

Avatar von 477 k 🚀

Ah, ich glaube entweder in [0,pi] oder [pi,2pi]

Also muss man dann also die Integrationsgrenzen ändern, also hier die untere 0 lassen und die obere pi und dann das gesamte Integral mal 2 oder wie?

Ah, ich glaube entweder in [0,pi] oder [pi,2pi]

Was das von den beiden ist sollte nicht schwer sein, wenn man weiß das eine Wurzel nie negativ ist.

Also

\( L=2 \int \limits_{0}^{\pi} \sqrt{r(\varphi)^{2}+\left(r^{\prime}(\varphi)\right)^{2}} d \varphi \)

Die Wurzel auf der rechten Seite der Identität?

Also sqrt((1+cos(x))/2)?
Weil cos(x) kann doch nur maximal Betrag 1 haben.
Also kann die Wurzel doch höchstens zu sqrt(0) werden. Oder meinst du gerade etwas anderes?

Jetzt habe ich es verstanden.

Die linke Seite darf nicht negativ sein, vielen Dank für die Hilfe

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