Berechnen sie die Länge der Kardiode r(x)=1+cos(x); x\in\left[0,2\pi\right]dx

Question

Aufgabe:

Berechnen sie die Länge der Kardiode $$r(x)=1+cos(x); x\in\left[0,2\pi\right]dx$$

Die Länge ist gegeben durch:

$$L=\int \limits_{a}^{b}\sqrt{r^2(x)+r'(x)^2}dx$$

Problem/Ansatz:

Eingesetzt ergibt dass dann ja

$$L=\int \limits_{0}^{2\pi} \sqrt{(1+cos(x))^2+sin^2(x)}dx$$
Dann mit cos^2(x)+sin^2(x)=1 wird es zu

$$L=\int \limits_{0}^{2\pi} \sqrt{2+2cos(x)}dx$$
Dann ziehe ich die 2 raus und komme auf
$$L= \int \limits_{0}^{2\pi}\sqrt{2}*\sqrt{1+cos(x)}dx$$

Um leichter zu integrieren wende ich dann die Identität $$cos(x/2)=\sqrt{\frac{1+cos(x)}{2}}$$ an und komme auf:
$$L=\int \limits_{0}^{2\pi}2\sqrt{cos(x/2)}dx$$

Nun muss ich nurnoch integrieren, und hier liegt irgendwie mein Problem. Ich komme auf:
$$L=4sin(x/2)$$ mit den Grenzen [0,2pi]
Wenn ich diese nun einsetze komme ich auf $$L=4*[sin(\pi)-sin(0)]=0$$ da sin(pi) und sin(0) gleich 0 sind.
In der Musterlösung steht aber dass die Lösung 8 betragen muss, und ein Integralrechner im Internet sagt das selbe.
Hat das etwas damit zu tun, dass der positive und der negative Anteil vom Sinus sich zwischen [0,2pi] auusgleicht?
Es wäre nett wenn mir jemand erklären könnte, wo ich hier den Fehler gemacht habe.

Answer 1

Eigentlich hast du alles richtig gemacht, nur die Formel cos(x/2)= ... gilt nicht für x/2>pi

du kannst aber einfach 2 mal das Integral bis pi nehmen, denn ab da wiederholt sich ja die eigentliche Funktion

denn cos(x/2)<0 für x>pi während die Wurzel immer positiv ist.

Gruß lul

Comments

Vielen Dank für die Hilfe, jetzt ist alles klar :)

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Eine Frage:

Ich kenne die Kurvenlänge so, dass unter der Wurzel 1 + f'(x)² steht und nicht

f(x)² + f'(x)²

Warum ist das hier anders?

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Warum ist das hier anders?

weil das $x$ hier kein kartesisches $x$ sondern der Winkel $\theta$ (oder $\varphi$) ist. Die Kardiode ist in Polarkoordinaten gegeben. Besser müsste es heißen$$L=\int \limits_{\theta_1}^{\theta_2}\sqrt{r^2(\theta)+\left(\frac{\text dr}{\text d\theta}(\theta)\right)^2}\,\text d\theta$$siehe hier (ab Seite 3 unten)

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Ah, verstehe, hatte mir schon sowas gedacht.

Danke!

Im link sogar mit obigem Beispiel. :-)

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Das eine lässt sich ins andere umformen :

√(1 + y'(x)²) dx =  √(1 + (dy/dx)²) dx =  √((dx)² + (dy)²)  =  √( (d(r·cos φ))² + (d(r·sin φ))²)

=   √( (cos φ dr - r·sin φ dφ)² + (sin φ dr + r·cos φ dφ)² )

=  √( (cos φ dr)² - 2 r cos φ sin φ dr dφ + (r sin φ dφ)²
      + (sin φ dr)² + 2 r cos φ sin φ dr dφ + (r cos φ dφ)² )

=  √( (dr)² + (r dφ)² )  =  √( (dr/dφ)² + r² ) dφ = √(r'² + r²) dφ

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Cool! Danke!

Answer 2

Für welchen Wertebereich x gilt denn deine benutzte Identität

COS(x/2) = √((1 + COS(x))/2)

Comments

Ah, ich glaube entweder in [0,pi] oder [pi,2pi]

Also muss man dann also die Integrationsgrenzen ändern, also hier die untere 0 lassen und die obere pi und dann das gesamte Integral mal 2 oder wie?

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Ah, ich glaube entweder in [0,pi] oder [pi,2pi]

Was das von den beiden ist sollte nicht schwer sein, wenn man weiß das eine Wurzel nie negativ ist.

Also

$L=2 \int \limits_{0}^{\pi} \sqrt{r(\varphi)^{2}+\left(r^{\prime}(\varphi)\right)^{2}} d \varphi$

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Die Wurzel auf der rechten Seite der Identität?

Also sqrt((1+cos(x))/2)?
Weil cos(x) kann doch nur maximal Betrag 1 haben.
Also kann die Wurzel doch höchstens zu sqrt(0) werden. Oder meinst du gerade etwas anderes?

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Jetzt habe ich es verstanden.

Die linke Seite darf nicht negativ sein, vielen Dank für die Hilfe