Einfach und schnell Ableiten mit binomischer Formel im Nenner

Question

Aufgabe: Ableiten

\( \frac{4x}{(1-x^{2})^{2}} \)

Problem/Ansatz:

Ich weiß man nutzt hier das Quotientenkriterium, nur versuche ich es hin und her und komme nie auf die richtige Ableitung + denke ich mir dass es doch irgendwie auch hier einen Trick beim Ableiten geben muss weil im Nenner die binomische Formel ja eigentlich verwendet werden muss

Comments

Ich weiß man nutzt hier das Quotientenkriterium

Du meinst sicher die Quotientenregel?

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Ups ja meine ich

Answer 1

Die Ableitung des Nenners ist \(=2(1-x^2)(-2x)\)

nach der Kettenregel. Den Nenner auszumultiplizieren

ist keine "gute Tat"!.

Wir erhalten$$\left(\frac{4x}{(1-x^2)^2}\right)'=\frac{4{\color{blue}(1-x^2)}^2-4x\cdot 2{\color{blue}(1-x^2)}(-2x)}{(1-x^2)^4}=$$Nun kürzen wir durch \((1-x^2)\), also$$=\frac{4(1-x^2)-8x(-2x)}{(1-x^2)^3}=\frac{4+12x^2}{(1-x^2)^3}$$

Answer 2

Ableitung über Quotientenregel

z(x) = 4·x
z'(x) = 4

n(x) = (1 - x^2)^2
n'(x) = - 4·x·(1 - x^2)

f(x) = (4·x) / (1 - x^2)^2
f'(x) = (4·(1 - x^2)^2 - 4·x·(- 4·x·(1 - x^2))) / (1 - x^2)^4
f'(x) = (4·(1 - x^2) - 4·x·(- 4·x)) / (1 - x^2)^3
f'(x) = (4 - 4·x^2 + 16·x^2) / (1 - x^2)^3
f'(x) = (4 + 12·x^2) / (1 - x^2)^3