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Aufgabe:

Überprüfe 4x2 - 3xy auf kritische Punkte unter x2 + y2 ≤ 1


Problem/Ansatz:

Ich habe versucht die Gleichung mit Lagrange zu lösen, scheitere aber daran beim Gleichsetzen die Ableitungen nach einer Variablen aufzulösen. Kann mir jemand helfen?

Als Lagrange Funktion habe ich L= 4x2 -3xy + λ(x2 + y2 -1)

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scheitere aber daran beim Gleichsetzen die Ableitungen nach einer Variablen aufzulösen.

Es wäre hilfreich zu sehen, wie deine Ableitungen aussehen.

2 Antworten

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L(x, y, k) = 4·x2 - 3·x·y - k·(x2 + y2 - 1)

Gradient

L'(x, y, k) = [- 2·k·x + 8·x - 3·y, - 3·x - 2·k·y, - x2 - y2 + 1] = [0, 0, 0]

Eliminiere aus den ersten beiden Gleichungen das k und setze es dann in die dritte Gleichung ein

- 2·k·x + 8·x - 3·y = 0 --> k = (8·x - 3·y)/(2·x)

- 3·x - 2·k·y = 0 --> k = - 3·x/(2·y)

Jetzt also

(8·x - 3·y)/(2·x) = - 3·x/(2·y) --> y = - x/3 ∨ y = 3·x

Das setzt du jetzt also in die Hauptbedingung ein. Schaffst du das?

Ich erhalte folgende Lösungen

(x = - 3·√10/10 ∧ y = √10/10 ∧ k = 9/2) ∨ (x = 3·√10/10 ∧ y = - √10/10 ∧ k = 9/2) ∨ (x = - √10/10 ∧ y = - 3·√10/10 ∧ k = - 1/2) ∨ (x = √10/10 ∧ y = 3·√10/10 ∧ k = - 1/2)

Das war jetzt die Randuntersuchung. Natürlich findest du jetzt auch noch im inneren bei (x = 0 ∧ y = 0) eine kritische Stelle.

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Aloha :)

Wir untersuchen die Funktionf(x;y)=4x23xyf(x;y)=4x^2-3xyzunächst ohne die Nebenbedingung auf kritische Punkte.

Dazu bestimmen wir die Nullstellen des Gradienten:(00)=!gradf(x;y)=(8x3y3x)\binom{0}{0}\stackrel!=\operatorname{grad}f(x;y)=\binom{8x-3y}{3x}Wegen der zweiten Koordinate (0=3x)(0=3x) muss x=0x=0 sein. Dann folgt aus der ersten Koordinate (0=8x3y)(0=8x-3y), dass auch y=0y=0 sein muss. Wir haben also einen kritischen Punkt K1(00)\boxed{K_1(0|0)} gefunden, der insbesondere die Randbedingung (x2+y21)(x^2+y^2\le1) erfüllt.

Weitere kritische Punkte können noch auf dem Rand der Nebenbedingung existieren. Daher suchen wir im zweiten Schritt die kritischen Punkte von ff unter einer konstanten Nebenbedingung gg:f(x;y)=4x23xy;g(x;y)=x2+y2=1=constf(x;y)=4x^2-3xy\quad;\quad g(x;y)=x^2+y^2=1=\text{const}

Nach Lagrange muss in einem kritischen Punkt der Gradient der untersuchten Funktion eine Linearkombination der Gradienten aller Nebenbedingungen sein. Da es hier nur eine Nebenbedingung gibt, heißt das:gradf(x;y)=!λgradg(x;y)    (8x3y3x)=λ(2x2y)\operatorname{grad}f(x;y)\stackrel!=\lambda\cdot\operatorname{grad}g(x;y)\implies\binom{8x-3y}{3x}=\lambda\cdot\binom{2x}{2y}Wegen des Faktors λ\lambda müssen die beiden Gradienten kollinear sein, d.h. sie müssen parallel oder antiparallel zueinander liegen. Wir erinnern uns daran, dass die Determinante einer 2×22\times2-Matrix die Fläche angibt, die ihre Reihenvektoren aufspannen. Da diese Fläche 00 sein muss, muss auch die Determinante 00 sein:0=!8x3y2x3x2y=(8x3y)2y3x2x=6x2+16xy6y20\stackrel!=\left|\begin{array}{cc}8x-3y & 2x\\3x & 2y\end{array}\right|=(8x-3y)2y-3x\cdot 2x=-6x^2+16xy-6y^2Mit Hilfe der Nebenbedingung g(x;y)=x2+y2=1g(x;y)=x^2+y^2=1 erhalten wir:0=!16xy6(x2+y2)=1=16xy6    xy=380\stackrel!=16xy-6\,\underbrace{(x^2+y^2)}_{=1}=16xy-6\implies xy=\frac38

Die beiden Gleichungen x2+y2=1x^2+y^2=1 und xy=38xy=\frac38 ergeben 4 Lösungen:x=1474;y=1474x=-\frac{1}{4}-\frac{\sqrt{7}}{4}\quad;\quad y=\frac{1}{4}-\frac{\sqrt{7}}{4}x=1474;y=1474x=\frac{1}{4}-\frac{\sqrt{7}}{4}\quad;\quad y=-\frac{1}{4}-\frac{\sqrt{7}}{4}x=7414;y=14+74x=\frac{\sqrt{7}}{4}-\frac{1}{4}\quad;\quad y=\frac{1}{4}+\frac{\sqrt{7}}{4}x=14+74;y=7414x=\frac{1}{4}+\frac{\sqrt{7}}{4}\quad;\quad y=\frac{\sqrt{7}}{4}-\frac{1}{4}und damit 4 weitere kritische Punkte auf dem Rand der Nebenbedingung:

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