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Aufgabe:

Eine ganzrationale Funktion dritten Grades hat einen Tiefpunkt bei T(1|0) und einen Wendepunkt bei W(0|1). Stellen Sie die Gleichung dieser Funktion auf und berechnen Sie den Inhalt der Fläche, den der Graph dieser Funktion mit der x-Achse einschließt.


Problem/Ansatz:

Ich verstehe die Aufgabe leider Nicht. Bitte um hilfe

von

4 Antworten

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Hallo,

f(x)=ax³+bx²+cx+d

f'(x)=3ax²+2bx+c

f''(x)=6ax+2b

a,b,c und d bestimmen.

Dazu sind vier Bedingungen nötig.

f(1)=0 → a+b+c+d=0

f'(1)=0  → 3a+2b+c=0

f(0)=1 → d=1

f''(0)=0 → b=0

a+c=-1

3a+c=0

Subtrahieren:

2a=1 → a=0,5

c=-1,5

f(x)= 0,5x³-1,5x+1

Nun die zweite Nullstelle x=-2 bestimmen und von -2 bis 1 integrieren.

Flächeninhalt: 3,375


Screenshot_20220801-222323_Desmos.jpg

:-)

von 38 k
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Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Die Gesuchte ist eine ganzrationale Funktion 3-ten Grades. Wir kennen bereits eine Nullstelle, nämlich \((1|0)\). Daher muss der Funktionsterm den Linearfaktor \((x-1)\) enthalten. Wir wählen daher als Ansatz:$$f(x)=(x-1)\cdot(ax^2+bx+c)$$

Wir kennen einen weiteren Punkt, nämlich \((0|1)\), daher ist \(f(0)=1\), sodass:$$1=f(0)=(0-1)\cdot(a\cdot0^2+b\cdot0+c)=-c\implies c=-1\implies$$$$f(x)=(x-1)\cdot(ax^2+bx-1)=(ax^3+bx^2-x)-(ax^2+bx-1)$$$$f(x)=ax^3+(b-a)x^2-(b+1)x+1$$

Bei \(T(1|0)\) liegt ein Tiefpunkt, d.h. die erste Ableitung muss bei \(x=1\) verschwinden:$$f'(x)=3ax^2+2(b-a)x-(b+1)$$$$0\stackrel!=f'(1)=3a+2(b-a)-(b+1)=a+b-1\implies a+b=1$$

Bei \(W(0|1)\) liegt ein Wendepunkt, d.h. die zweite Ableitung muss bei \(x=0\) verschwinden:

$$f''(x)=6ax+2(b-a)$$$$0\stackrel!=f''(0)=2(b-a)\implies b-a=0\implies a=b$$

Wegen \((a+b=1)\) und \((a=b)\) ist \((a=b=\frac12)\), sodass:$$\underline{\underline{f(x)=\frac{1}{2}x^3-\frac32x+1}}$$

Zur Berechnung der Fläche, zwischen \(f(x)\) und der \(x\)-Achse brauchen wir die Nullstellen der Funktion als Integrationsgrenzen. Dazu gehen wir zu unserem Ansatz von oben zurück und setzen die gefundenen Parameter dort ein:$$f(x)=(x-1)\cdot\left(\frac12x^2+\frac12x-1\right)=(x-1)\cdot\frac12\left(x^2+x-2\right)$$$$\phantom{f(x)}=(x-1)\frac12(x+2)(x-1)=\frac12(x-1)^2(x+2)$$

Wir lesen daraus die Nullstellen \(x=-2\) und \(x=1\) ab. Die gesuchte Fläche ist damit:$$F=\int\limits_{-2}^1f(x)\,dx=\int\limits_{-2}^1\left(\frac{1}{2}x^3-\frac32x+1\right)dx=\left[\frac18x^4-\frac34x^2+x\right]_{-2}^1$$$$\phantom{F}=\left(\frac18-\frac34+1\right)-\left(2-3-2\right)=\frac38+3=\frac{27}{8}$$

von 119 k 🚀
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Benutze http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/steckbrief.htm zur Hilfe und Selbstkontrolle

Eigenschaften

f(1) = 0
f'(1) = 0
f(0) = 1
f''(0) = 0

Gleichungssystem

a + b + c + d = 0
3a + 2b + c = 0
d = 1
2b = 0

Funktion und Ableitung(en)

f(x) = 0,5·x^3 - 1,5·x + 1

Fläche

f(x) = 0,5·x^3 - 1,5·x + 1 = 0 --> x = -2 ∨ x = 1 (2-fach)

A = ∫ (-2 bis 1) (0.5·x^3 - 1.5·x + 1) dx = 27/8 = 3.375

von 430 k 🚀
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Eine ganzrationale Funktion dritten Grades hat einen Tiefpunkt bei T(1|0) und einen Wendepunkt bei W(0|1). Stellen Sie die Gleichung dieser Funktion auf und berechnen Sie den Inhalt der Fläche, den der Graph dieser Funktion mit der x-Achse einschließt.

\(T(1|0)\) → doppelte Nullstelle

Der Wendepunkt einer Funktion 3. Grades ist immer punktsymmetrisch zum Wendepunkt : Hochpunkt bei \(H(-1|2)\)

\(f(x)=a*(x-1)^2*(x-N)\)

\(f(0)=a*(0-1)^2*(0-N)=-a*N\)

\(-a*N=1\)

1.) \(a=-\frac{1}{N}\)

\(f(x)=-\frac{1}{N}*(x-1)^2*(x-N)\)

\(f(-1)=-\frac{1}{N}*(-1-1)^2*(-1-N)=-\frac{4}{N}\)

\(-\frac{4}{N}=2→N=-2 \)   \(a=0,5\)

\(f(x)=0,5*(x-1)^2*(x+2)\)

u.s.w.









von 23 k

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