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Die Gesuchte ist eine ganzrationale Funktion 3-ten Grades. Wir kennen bereits eine Nullstelle, nämlich \((1|0)\). Daher muss der Funktionsterm den Linearfaktor \((x-1)\) enthalten. Wir wählen daher als Ansatz:$$f(x)=(x-1)\cdot(ax^2+bx+c)$$
Wir kennen einen weiteren Punkt, nämlich \((0|1)\), daher ist \(f(0)=1\), sodass:$$1=f(0)=(0-1)\cdot(a\cdot0^2+b\cdot0+c)=-c\implies c=-1\implies$$$$f(x)=(x-1)\cdot(ax^2+bx-1)=(ax^3+bx^2-x)-(ax^2+bx-1)$$$$f(x)=ax^3+(b-a)x^2-(b+1)x+1$$
Bei \(T(1|0)\) liegt ein Tiefpunkt, d.h. die erste Ableitung muss bei \(x=1\) verschwinden:$$f'(x)=3ax^2+2(b-a)x-(b+1)$$$$0\stackrel!=f'(1)=3a+2(b-a)-(b+1)=a+b-1\implies a+b=1$$
Bei \(W(0|1)\) liegt ein Wendepunkt, d.h. die zweite Ableitung muss bei \(x=0\) verschwinden:
$$f''(x)=6ax+2(b-a)$$$$0\stackrel!=f''(0)=2(b-a)\implies b-a=0\implies a=b$$
Wegen \((a+b=1)\) und \((a=b)\) ist \((a=b=\frac12)\), sodass:$$\underline{\underline{f(x)=\frac{1}{2}x^3-\frac32x+1}}$$
Zur Berechnung der Fläche, zwischen \(f(x)\) und der \(x\)-Achse brauchen wir die Nullstellen der Funktion als Integrationsgrenzen. Dazu gehen wir zu unserem Ansatz von oben zurück und setzen die gefundenen Parameter dort ein:$$f(x)=(x-1)\cdot\left(\frac12x^2+\frac12x-1\right)=(x-1)\cdot\frac12\left(x^2+x-2\right)$$$$\phantom{f(x)}=(x-1)\frac12(x+2)(x-1)=\frac12(x-1)^2(x+2)$$
Wir lesen daraus die Nullstellen \(x=-2\) und \(x=1\) ab. Die gesuchte Fläche ist damit:$$F=\int\limits_{-2}^1f(x)\,dx=\int\limits_{-2}^1\left(\frac{1}{2}x^3-\frac32x+1\right)dx=\left[\frac18x^4-\frac34x^2+x\right]_{-2}^1$$$$\phantom{F}=\left(\frac18-\frac34+1\right)-\left(2-3-2\right)=\frac38+3=\frac{27}{8}$$
