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Aufgabe:

Untersuchen Sie die folgende Reihen auf konvergenz und absolute Konvergenz.

20220805_102943.jpg

Text erkannt:

(b) \( \sum \limits_{k=0}^{\infty} \frac{2^{k} k !}{k^{k}} \)
Wir bemuhen das Quotientenkriterium und sehen.
\( \begin{aligned} \left|\frac{a_{k+1}}{a_{k}}\right| &=\frac{\frac{2^{k+1}(k+1) !}{(k+1)^{k+1}}}{\frac{2^{k} k !}{k^{k}}}=\frac{2^{k+1}(k+1) !}{(k+1)^{k+1}} \cdot \frac{k^{k}}{\left(k+2^{k} k !\right.} \\ &=2 \cdot(k+1) \cdot \frac{k^{k}}{(k+1)^{k+1}}-2 \frac{k}{(k+1)^{k}}=2\left(\frac{k}{k+1}\right)^{k} \\ &=2\left(\left(\frac{k+1}{k}\right)^{k}\right)^{-1}=2\left(\left(1+\frac{1}{k}\right)^{k}\right)^{-1} \frac{k \rightarrow \infty}{\frac{2}{e}<1} \end{aligned} \)
da nach Hinweis \( \left(1+\frac{1}{k}\right)^{k} \stackrel{k \rightarrow \infty}{\longrightarrow} \) gitt.
Also folgt mit dem Quotientenksiterium die absolute



Problem/Ansatz:

Ich habe schon die Lösung aber ich verstehe eine Sache nicht. Woher kommt 2.(k+1) und so weiter. Ab 2.(k+1) hab ich nicht verstabden, wie man weiter geht :/

Ich werde sehr dankbar, wenn Sie mir weiter helfen können.

von

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Hallo

die 2 kommt von 2k+1/2^k=2

das k+1 kommt von (k+1)!/k!=k+1 danach noch kürzen durch k+1 und a^k/b^k=(a/b)^k benutzen

lul

von 85 k 🚀

Kannst du mir auch sagen woher 2.((k+1)/k)^k)^-1 kommt?!

Bitte hilf mir weiter :( :(

Hallo

du hattest hoffentlich noch 2*(k/(k+1))^k?   a/b=(b/a)-1

dann k/(k+1)=((k+1)/k)-1  und (a/b)-k=((a/b)-1)^k

irgendwie muss du dich mal mit den einfachen Potenzgesetzen beschäftigen!

lul

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