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Aufgabe:D2B1D60F-1C80-408B-8D23-4917AB12A9E8.jpeg

Text erkannt:

(a) Bestimmen Sie alle Parameter \( a \in \mathbb{R} \), sodass \( f_{a}(-\infty ;-2) \rightarrow \mathbb{R}, x \mapsto-2 x^{2}+a x-4 \) injektiv ist.
Die gesuchte Menge aller \( a \) ist:

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Text erkannt:

(c) Bestimmen Sie \( M \), sodass \( g:[2 ; 3] \rightarrow M, y \mapsto \frac{1}{y}-\frac{1}{5} \) eine bijektive Abbildung ist.
Die gesuchte Menge \( M \) ist gleich ?
Menge definieren


Problem/Ansatz: Ich versteh leider nicht, nicht wie man hier am besten vorgeht und die Aufgabe löst. Vielleicht kann mir ja jemand

Text erkannt:

(c) Bestimmen Sie \( M \), sodass \( g:[2 ; 3] \rightarrow M, y \mapsto \frac{1}{y}-\frac{1}{5} \) eine bijektive Abbildung ist.
Die gesuchte Menge \( M \) ist gleich ?
Menge definieren

von

Geht es um a oder c ???

Um beide Aufgaben

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Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

zu a) Wir sollen die Injektivität folgender Funktion untersuchen:$$f_a\colon(-\infty;-2)\to\mathbb R\,,\,x\to f_a(x)=-2x^2+ax-4$$

Injektiv bedeutet, dass jedes Element der Zielmenge (Wertemenge) höchstens 1-mal getroffen wird. Wir nehmen daher an, es gibt zwei Argumente \(x,y\in(-\infty,-2)\) mit dem gleichen Funktionswert \(f(x)=f(y)\) und prüfen, für welche \(a\) daraus die Gleichheit der Argumente \(x=y\) folgen muss.

$$f(x)=f(y)\implies-2x^2+ax-4=-2y^2+ay-4\implies2y^2-2x^2=ay-ax$$$$\phantom{f(x)=f(y)}\implies2(y+x)(y-x)=a(y-x)$$Für \(x=y\) ist die Gleichung immer erfüllt, das war klar. Allerdings kann die Gleichung auch für \(x\ne y\) erfüllt sein, wenn nämlich \(a=2(x+y)\) gilt. Für welche \(a\) wird das passieren?$$x,y<-2\implies x+y<-4\implies2(x+y)<-8\implies a<-8$$

Nur für \((a\ge-8)\) ist die Funktion injektiv, gilt also \(\left(f(x)=f(y)\implies x=y\right)\).

zu c) Bestimme \(M\) so, dass folgende Abbildung bijektiv ist.$$f\colon[2;3]\to M\,,\,x\to f(x)=\frac1x-\frac15$$Ich habe die Variable \(y\) durch \(x\) ersetzt, um Verwirrung zu vermeiden. Wegen \(f'(x)=-\frac{1}{x^2}<0\) ist die Funktion für \(x\in[2;3]\) streng monoton fallend. Das heißt, jeder Funktionswert wird in diesem Intervall höchstens 1-mal angenommen. Die Funktion ist also injektiv.

Die Funktion \(f(x)\) ist im Intervall \(x\in[2;3]\) aber auch stetig. Wegen der Monotonie ist \(f(2)>f(3)\) und die Stetigkeit garantiert uns nach dem Zwischenwertsatz, dass jeder der Werte aus dem Ziel-Intervall \([f(3);f(2)]\) mindestens 1-mal angenommen wird. Also ist die Funktion in diesem Ziel-Intervall auch surjektv.

Bijektiv bedeutet, dass jedes Element der Zielmenge genau 1-mal getroffen wird. Da die Funktion \(f\) bezüglich der Zielmenge \([f(3);f(2)]\) injektiv (jedes Ziel wird höchstens 1-mal getroffen) und surjektiv (jedes Element wird mindestens 1-mal getroffen) ist, ist sie auch bijektiv. Die gesuchte Zielmenge ist also$$M=\left[f(3);f(2)\right]=\left[\frac{2}{15}\,;\,\frac{3}{10}\right]$$

von 117 k 🚀

Vielen dank für die schnelle und ausführliche Antwort :)

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