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Hey,

ich soll diese Gleichung nach h auflösen:

$$0=h^3-3rh^2+2r^3$$

Durch ausprobieren kam ich auf die Lösung h=r, jedoch kann ich da doch gar nichts mit Äquivalenzumformung oder pq-Formel erreichen?... Kubische Gleichungen, Polynomdivision soll wohl nicht angewandt werden, da noch nicht in der Schule behandelt worden, und auch sonst keine Methoden um höhergradige Gleichungen zu lösen. Gibt es sonst noch eine Möglichkeit, ohne raten?


LG :)

von

Ohne raten oder Polynomdivision, sondern mit kubischer Ergänzung und pq-Formel:
h3 - 3rh2 + 2r3 = (h - r)3 - 3r2h + 3r3 = (h - r)3 - 3r2(h - r) = (h - r)·((h - r)2 - 3r2) = (h - r)·(h2 - 2rh - 2r2).

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Aloha :)

Wie du bereits richtig ermittelt hast, ist \(h=r\) eine mögliche Lösung der Gleichung:$$0=h^3-3rh^2+2r^3$$Daher muss die rechte Seite der Gleichung den Linearfaktor \((h-r)\) enthalten:$$0=h^3\,\underbrace{-\,rh^2-2rh^2}_{=-3rh^2}+\underbrace{2r^2h-2r^2h}_{=0}+2r^3$$$$0=(h^3-rh^2)+(-2rh^2+2r^2h)+(-2r^2h+2r^3)$$$$0=(h\cdot\pink{h^2}-r\cdot\pink{ h^2})+(-\pink{2rh}\cdot h+\pink{2rh}\cdot r)+(-\pink{2r^2}\cdot h+\pink{2r^2}\cdot r)$$$$0=\pink{h^2}(h-r)-\pink{2rh}(h-r)-\pink{2r^2}(h-r)$$$$0=(\pink{h^2}-\pink{2rh}-\pink{2r^2})(h-r)$$

Die zweite Klammer wird \(0\) für \(h=r\). Die Nullstellen der ersten Klammer bestimmen wir mit der pq-Formel:$$h=\frac{2r}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{2r}{2}\right)^2-(-2r^2)}=r\pm\sqrt{3r^2}=r\pm\sqrt3\,r=(1\pm\sqrt3)\,r$$

Es gibt also insgesamt drei Lösungen:$$h=r\quad;\quad h=(1+\sqrt3)\,r\quad;\quad h=(1-\sqrt3)\,r$$

von 117 k 🚀

Danke für deine Hilfe ♥

+1 Daumen

Eine etwas andere Methode, um auf die Lösung h=r zu kommen:

Unter der Voraussetzung \(r\neq 0\) dividiere man die Gleichung durch \(r^3\):

\(0=(h/r)^3-3(h/r)^2+2\). Setzen wir \(x=h/r\), so bedeutet das

\(x^3-3x^2+2=0\). Hier lässt sich \(x=1\) als Lösung leicht erraten,

und \(x=1\) bedeutet \(h=r\).

Polynom-Division oder Horner-Schema liefert

\(0=(x-1)(x^2-2x-2)\). Die Nullstellen der zweiten Klammer sind

mit der pq-Formel \(1\pm\sqrt{3}\), ...

von 16 k

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