Bestimmen Sie die Maxima und Minima der Funktion f: ℝ2 - ℝ, f(x,y) = 4x2 -3xy

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie die Maxima und Minima der Funktion f: ℝ² -> ℝ, f(x,y) = 4x² -3xy

auf der Kreisscheibe K1 ((0,0)): {(x,y) ∈ ℝ² | x² + y² <= 1}

Problem/Ansatz:

Wie löse ich diese Aufgabe?

Answer 1

Aloha :)

Du schaust zuerst, ob die Funktion$$f(x;y)=4x^2-3xy$$ohne die Nebenbedingung ein Exremum hat, das vielleicht zufällig im Kreis $K$ liegt:$$K=\{(x;y)\in\mathbb R^2\,\big|\,x^2+y^2\le1\}$$

Die möglichen Kandidaten dazu findest du dort, wo der Gradient verschwindet:$$\binom{0}{0}\stackrel!=\operatorname{grad}f(x;y)=\binom{8x-3y}{-3x}\implies x=0\implies y=0$$

Wir prüfen den einzigen Kandidaten $(0|0)$ mit Hilfe der Hesse-Matrix:$$H(x;y)=\left(\begin{array}{rr}8 & -3\\-3 & 0\end{array}\right)$$Ihre Hauptminoren sind $8$ und $(-9)$. Daher ist die Matrix indefinit und bei $(0|0)$ liegt kein Extremum vor.

Nun können Extrema noch auf dem Rand der Kreisscheibe liegen. Um das zu prüfen, müssen wir die Funktion $f(x;y)$ unter einer konstanten Nebenbedingung $g(x;y)$ optimieren:$$f(x;y)=4x^2-3xy\quad;\quad g(x;y)=x^2+y^2=1$$

Nach Lagrange finden wir Kandidaten-Punkte dort, wo der Gradient der zu optimierenden Funktion eine Linearkombination der Gradienten aller Nebenbedingungen ist:$$\operatorname{grad}f(x;y)\stackrel!=\lambda\operatorname{grad}g(x;y)\implies\binom{8x-3y}{-3x}\stackrel!=\lambda\binom{2x}{2y}$$Beide Gradienten müssen offenbar parallel oder antiparallel zueinander orientiert sein. Daher spannen sie keine Fläche auf und ihre gemeinsame Determinante verschwindet:$$0\stackrel!=\left|\begin{array}{rr}8x-3y & 2x\\-3x & 2y\end{array}\right|=16xy-6y^2+6x^2=2(3x-y)(x+3y)\implies$$$$y=3x\quad\lor\quad x=-3y$$

Wir setzen beide Lagrange-Forderungen in die Nebenbedingung ein:$$y=3x\implies 1=x^2+(3x)^2=10x^2\implies x=\frac{\pm1}{\sqrt{10}}\implies y=\frac{\pm3}{\sqrt{10}}$$$$x=-3y\implies 1=(-3y)^2+y^2=10y^2\implies y=\frac{\pm1}{\sqrt{10}}\implies x=\frac{\mp3}{\sqrt{10}}$$

Damit haben wir 4 Kandidaten für Exrema gefunden:$$\red{K_1\left(\frac{1}{\sqrt{10}}\bigg|\frac{3}{\sqrt{10}}\right)}\quad;\quad \red{K_2\left(\frac{-1}{\sqrt{10}}\bigg|\frac{-3}{\sqrt{10}}\right)}\quad;\quad \green{K_3\left(\frac{3}{\sqrt{10}}\bigg|\frac{-1}{\sqrt{10}}\right)}\quad;\quad \green{K_4\left(\frac{-3}{\sqrt{10}}\bigg|\frac{1}{\sqrt{10}}\right)}$$

Wegen $\left(f(\vec k_1)=f(\vec k_2)=-\frac12\right)$ und $\left(f(\vec k_3)=f(\vec k_4)=+\frac92\right)$ sind die ersten beiden Kandidaten globale Minima und die beiden letzten Kandidaten gloable Maxima auf dem Kreisrand.

Comments

Ich schaffe es hier wieder nicht, bei den Punkten auf dem Rand, mit Lagrange auf die einzelnen Variablen zu kommen. Also ohne diese Determinantenmethode. Kann mir das einer vielleicht mal zeigen?

Wenn ich Lx * y - Ly *x rechne, ist das Lambda eliminiert, ich erhalte 8xy - 3y² + 3x² = 0. Aber ausklammern kann ich doch jetzt nichts gescheit.

Nachtrag.Oh, sekunde: (3x-y) (x+3y) = 3x² + 9xy - xy - 3y². Es geht also doch. Das Ausklammern hier ist dann etwas anders, als sonst,da ich nicht nach einer oder zwei Variablen ausklammere, und dann nur eine Klammer habe. Hier klammere ich dann so aus, sodass ich zwei Klammern habe. Dankeschön.