Ursprungsgerade bestimmen exponentialfunktion

Question

Aufgabe:

Betrachtet wird Funktion f(x) = e^(-x^2)

Eine Ursprungsgerade g(x) =m * x mit x<0 ist Normale an den Graphen von f(x). Wie lautet die Gleichung von g?

Problem/Ansatz:

Ich habe erst einmal f(x)=g(x) gesetzt, da die beiden Graphen ja die gleiche Koordinate haben müssen.

Dann hab ich: e^-x^2=m*x für das m habe ich die Formel für die Berechnung der Steigung einer Normalen genommen also m=-1/f'(x)

Nun hab ich: e^-x^2=(-1/(e^-x^2 * - 2x))*x

Doch jetzt komm ich nicht weiter. Bei x muss ca. - 0,5.. raus kommen.

Ich bitte um Hilfe

Answer 1

Aloha :)

Die Funktion \(f(x)=e^{-x^2}\) und die Ursprungsgerade \(g(x)=mx\) sollen einen gemeinsamen Punkt \(x_0<0\) haben, bei dem die Gerade \(g(x)\) senkrecht auf der Tangente von \(f(x)\) steht. Das heißt formal:$$f(x_0)=g(x_0)\implies e^{-x_0^2}=m\cdot x_0$$$$g'(x_0)=-\frac{1}{f'(x_0)}\implies m=\frac{1}{2x_0\,e^{-x_0^2}}$$Wir setzen das \(m\) aus der 2-ten Gleichung in die 1-te Gleichung ein:$$e^{-x_0^2}=m\cdot x_0=\frac{1}{2x_0\,e^{-x_0^2}}\cdot x_0=\frac{1}{2e^{-x_0^2}}\implies e^{-2x_0^2}=\frac12$$Wir bilden auf beiden Seiten den natürlichen Logarithmus und erhalten:$$\ln\left(e^{-2x_0^2}\right)=\ln\left(\frac12\right)\implies -2x_0^2=-\ln(2)\implies x_0^2=\frac{\ln(2)}{2}\implies \pink{x_0=-\sqrt{\frac{\ln(2)}{2}}}$$

Daraus folgt die Steigung \(m\) der gesuchten Ursprungsgeraden \(g\):$$m=\frac{1}{2x_0\,e^{-x_0^2}}=\frac{1}{-2\sqrt{\frac{\ln(2)}{2}}\,e^{-\frac{\ln(2)}{2}}}=-\frac{1}{\sqrt{2\ln(2)}\cdot\sqrt{\frac12}}=-\frac{1}{\sqrt{\ln(2)}}$$Die Geradengleichung lautet:$$\pink{g(x)=-\frac{1}{\sqrt{\ln(2)}}\cdot x}$$

~plot~ e^(-x^2) ; {-0,5887|1/sqrt(2)} ; -1/sqrt(ln(2))*x ~plot~

Answer 2

Es soll gelten \(x_0<0\) und \(f(x_0)=g(x_0)\) und \(f^\prime(x_0)\cdot g^\prime(x_0)=-1\), also
$$\large\begin{aligned}\mathrm e^{-x_0^2}&={\color{#a0f}{mx_0}}\\-2{\color{#a0f}{mx_0}}\mathrm e^{-x_0^2}&=-1.\end{aligned}$$Daraus folgt$$\large-2\mathrm e^{-2x_0^2}=-1.$$Resultat: \(\large x_0=-\sqrt{\frac12\log2}\approx-0.5887\) und \({\large m}=-\dfrac1{\sqrt{\log2}}\large\approx-1.2011\).

Answer 3

hallo

Da die Kurve symmetrisch zu x=0 ist gibt es 2 Lösungen.

deine Gleichung für x ist richtig,  wenn du mit dem Nenner multiplizierst  siehst du als erstes die Lösung x=0 was ja auch eine Ursprungsgerade ist, dann durch x teilen und daraus dann die 2 anderen Normalen mit x≈±1,5, m≈±1,19

Gruß lul