Lineare Abbildung und Koordinatenmatrix

Question

Aufgabe:

Sei $\alpha: \mathbb{Q}^{3} \rightarrow \mathbb{Q}^{3}$ der lineare Endomorphismus des Standaradvektorraums $\mathbb{Q}^{3}$ mit Koordinatenmatrix
$A=[\alpha]_{\mathfrak{E}}=\left(\begin{array}{ccc} -5 & 2 & 10 \\ -1 & 0 & 1 \\ -5 & 1 & 10 \end{array}\right) \in \operatorname{Mat}_{3}(\mathbb{Q})$
bzgl. der Basis $\mathfrak{E}=\left(e_{1}, e_{2}, e_{3}\right)$, bestehend aus $e_{1}=(1,0,0), e_{2}=(0,1,0), e_{3}=(0,0,1)$.

Verifizieren Sie, dass die Abbildung $\beta: \mathbb{Q}^{3} \rightarrow \mathbb{Q}^{3}, v \mapsto(v \alpha) \alpha+v$ linear ist und geben Sie die zugehörige Koordinatenmatrix $B=[\beta]_{\mathfrak{E}}$ an.

Problem/Ansatz:

Hallo, kann mir jemand bei der Aufgabe helfen? Wie man zeigt, dass eine Abbildung linear ist, weiß ich. Und auch wie man die koordinatenmatrix bestimmt. Allerdings verstehe ich die Abbildung bzw. die abbildungsvorschrift nicht so ganz.

Answer 1

Für die Abbildung gilt in Koordinaten bzgl. der Standardbasis$$v\mapsto \alpha(\alpha(v))+id(v)=A(Av)+E_3v=(A^2+E_3)v$$

Comments

Hey, danke erstmal, soweit habe ich es verstanden. Wie würde ich anfangen, um zu überprüfen, ob die Abbildung linear ist? Also ich weiß, dass ich die additivität und homogenität zeigen muss, bloß weiß ich nicht so genau, wo ich anfangen soll.

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Additivität:

Vorausgesetzt ist, dass $\alpha$ ein Endomorphismus ist, also linear:

$\beta(v+w)=((v+w)\alpha)\alpha+(v+w)=(v\alpha+w\alpha)\alpha+v+w=$

$=(v\alpha)\alpha+(w\alpha)\alpha+v+w=\beta(v)+\beta(w)$,

Homogenität entsprechend.

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Danke, die koordinatenmatrix wäre dann (A². + E_3) oder?

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Ja. Genau ;-) $\;\;\;\;\;$

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Ok super, danke

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Hätte noch eine kurze Nachfrage mit E_3 ist ja die standardbasis gemeint. Wenn ich die koordinatenmatrix berechnen möchte muss ich ja bloß A² bestimmen oder? Oder muss ich dazu noch was addieren?

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Nein. Mit $E_3$ ist die 3x3-Einheitsmatrix gemeint.
Du musst also die Matrix $A^2+E_3$ berechnen.

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Ach stimmt, danke dir für die schnelle Antwort!