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Aufgabe: Komplexe Zahlen


Problem/Ansatz:

Hallo,

Ich habe eine Aufgabe zu den Komplexen Zahlen die lautet:

Berechnen Sie ln((-1+i)4)-4ln(-1+i).

Nach den Logarithmus-Rechenregeln kann man ja die 4 vorne hinschreiben:

= 4ln(-1+i)-4ln(-1+i)

Ist das nun einfach null? Mir kommt es nur komisch vor eine Aufgabe zu komplexende Zahlen zu haben ohne mit diesen zu rechnen. Ich entschuldige mich im voraus falls ich etwas logisches übersehe.

Mfg, Mark



von

Es hängt von der Definition des komplexen Logarithmus ab. Rechne mal beide Terme aus, so wie sie da stehen.

2 Antworten

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Aloha :)

Nein, das ist nicht null. Potenzen sind bei komplexen Zahlen immer gefährlich...

$$-1+i=\sqrt{(-1)^2+1^2}\cdot e^{i(\arctan\left(\frac{1}{-1}\right)\pink{+\pi})}=\sqrt2\cdot e^{i\left(-\frac\pi4+\pi\right)}=\sqrt2\cdot e^{i\,\frac{3\pi}{4}}$$Das \(\pink{+\pi}\) ist als Korrektur für den Winkel bei negativem Realteil nötig, weil die \(\arctan()\)-Funktion nicht zwischen dem 1-ten und 3-ten Quadranten (Zähler und Nenner haben dasselbe Vorzeichen) sowie dem 2-ten und 4-ten Quadranten (Zähler und Nenner haben unterschiedliche Vorzeichen) unterscheiden kann.$$(-1+i)^4=\left(\sqrt2\cdot e^{i\,\frac{3\pi}{4}}\right)^4=\left(\sqrt2\right)^4\cdot e^{i\,\frac{3\pi}{4}\cdot 4}=4\cdot e^{i\,3\pi}=4\cdot e^{i\,\pi}\cdot e^{\green{i\,2\pi}}=4\cdot e^{i\pi}$$

Das Weglassen des Faktors \((e^{\green{i\,2\pi}}=1)\) ist das Gefährliche !!!

In der Gauß'schen Zahleneben liegen die beiden Zahlen \((4\cdot e^{i\,3\pi})\) und \((4\cdot e^{i\,\pi})\) an dem gleichen Punkt. Aber sie sind nicht identisch. Der Ortsvektor zu \((4\cdot e^{i\,3\pi})\) hat eine komplette Umdrehung mehr hinter sich als der Ortsvektor zu \((4\cdot e^{i\,\pi})\). Wenn du nun z.B. die Wurzel ziehst, wird die Hälfte der Ortsvektor-Umdrehungen wieder rückgängig gemacht. Dann liegen die beiden Ortsvektoren nicht mehr übereinander:$$\sqrt{4\cdot e^{i\,3\pi}}=4^{\frac12}\cdot\left(e^{i\,3\pi}\right)^{\frac12}=2\cdot e^{i\,\frac{3\pi}{2}}=-2\,i$$$$\sqrt{4\cdot e^{i\,\pi}}=4^{\frac12}\cdot\left(e^{i\,\pi}\right)^{\frac12}=2\cdot e^{i\,\frac{\pi}{2}}=+2\,i$$

Du musst beim Anwenden der Potenzgesetze bei komplexen Zahlen immer im Hinterkopf haben, dass zwei Zahlen zwar in der Gauß'schen Ebenen übereinander am selben Punkt liegen können, aber trotzdem eine unterschiedliche Anzahl Umdrehungen absolviert haben können. Wenn du das ignorierst, kann es zu unangenehmen Bugs kommen.

Hier in der Aufgabe ist konkret:$$\phantom{=}\ln\left((-1+i)^4\right)-4\ln(-1+i)$$$$=\ln\left(4\cdot e^{i\pi}\right)-4\ln\left(\sqrt2\cdot e^{i\,\frac{3\pi}{4}}\right)$$$$=\ln(4)+\ln(e^{i\,\pi})-4\left(\ln(2^{\frac12})+\ln\left(e^{i\,\frac{3\pi}{4}}\right)\right)$$$$=\ln(4)+i\pi-\ln\left((2^{\frac12})^4\right)-4\cdot i\,\frac{3\pi}{4}$$$$=\ln(4)+i\,\pi-\ln(4)-i\,3\pi$$$$=-i\,2\pi$$

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