Reelle Lösungen der DGL y''+9y=3sin(3x) Wann welches Verfahren anwenden?

Question

Musterlösung:

Variante 2: reeller Ansatz Nach Art der rechten Seite erhalt man für die partikuläre Lösung $f_{p}$ der reellen Störfunktion den Ansatz

$f_{p}(x)=a x \sin (3 x)+b x \cos (3 x)$

da ein Resonanzfall vorliegt. Die Ableitungen lauten

$\begin{array}{l} f_{p}^{\prime}(x)=(a-3 b x) \sin (3 x)+(3 a x+b) \cos (3 x), \\ f_{p}^{\prime \prime}(x)=-(9 a x+6 b) \sin (3 x)+(6 a-9 b x) \cos (3 x) \end{array}$

Einsetzen in die Differentialgleichung ergibt

$-6 b \sin (3 x)+6 a \cos (3 x) \stackrel{!}{=} 3 \sin (3 x)$

was durch Koeffizientenvergleich zu $a=0, b=-\frac{1}{2}$ führt. Damit lautet die Partikulärlösung

$f_{p}(x)=-\frac{1}{2} x \cos (3 x) .$

Insgesamt erhält man die allgemeine Lösung

$f(x)=c_{1} \cos (3 x)+c_{2} \sin (3 x)-\frac{1}{2} x \cos (3 x) \quad \text { mit } c_{1}, c_{2} \in \mathbf{R}$

(b) Nach Ableiten der allgemeinen Lösung und Einsetzen der Anfangswerte erhalt man das Gleichungssystem

$\begin{aligned} c_{1} \cos \left(\frac{\pi}{2}\right)+c_{2} \sin \left(\frac{\pi}{2}\right)-\frac{\pi}{12} \cos \left(\frac{\pi}{2}\right) &=c_{2} \quad \stackrel{!}{=} 0 \\ -3 c_{1} \sin \left(\frac{\pi}{2}\right)+3 c_{2} \cos \left(\frac{\pi}{2}\right)-\frac{1}{2} \cos \left(\frac{\pi}{2}\right)+\frac{\pi}{4} \sin \left(\frac{\pi}{2}\right) &=-3 c_{1}+\frac{\pi}{4} \stackrel{l}{=}-\frac{5 \pi}{4} \end{aligned}$

mit der Lösung $c_{1}=\frac{\pi}{2}$ und $c_{2}=0$. Damit lautet die Lösung des Anfangswertproblems

$f(x)=\frac{\pi}{2} \cos (3 x)-\frac{1}{2} x \cos (3 x)$

Die Musterlösung geht anders vor und bekommt auch ein komplett anderes Ergebnis. (Ab der Rechnung der Partikulären Lösung) Ich weiß nicht ob mein Lösungsansatz auch richtig ist. Daraus stellt sich mir allgemein die Frage welchen Ansatz ich wann verwenden kann/muss ??

Also hier meine Rechnung:

Mit den einzelnen Berechnungsarten komme ich an sich gut klar, nur das auswählen der "richtigen" Variante bereitet mir Kopfzerbrechen. Vielleicht kann mir jemand Tipps dazu geben?

Answer 1

Hmm,

bei c₁' und c₂' habe ich zwar andere Vorfaktoren raus wie Du, aber generell das Gleiche. Sehe da keine Möglichkeit das auf die ursprüngliche part. Lösung hinzuformen...

 

Ich selbst würde immer den rechte Seite-Ansatz wählen. In den Prüfungen wirst Du wahrscheinlich keine Aufgabe finden, wo der Ansatz nicht ginge?? Die Ansätze müssen dazu natürlich bekannt sein ;).

 

Grüßle

Comments

Hm, ja der Ansatz ist mir bekannt ;-).  Dann werde ich das so machen. Stimmt schon der Ansatz geht eigentlich immer.  Danke ;)