Bruchterm addieren wobei der zweite Bruch der erste nur umgekehrt ist?_?

Question

Bruchterm addieren:

\( \frac{1-x^{2}}{a+a x}+\frac{a+a x}{1-x^{2}} \)

Was natürlich sofort auffält das der eine Bruch der anderen nur umgekehrt ist. Ich hab schon alles mögliche versucht aber irgendwie komm ich nicht auf das Ergebnis (Das ich dank den Lösungen am Blatt unten weiß) Aber das Ergebnis zu wissen reicht nicht. Also ich schätze mal das man wenn ein Bruch verkehrt zu nem anderen ist das man dort irgend was spezielles machen kann oder so?

Answer 1

Hi,

einen Weg der direkt das ausnutzt, dass der Kehrwert benutzt wird, habe ich nicht.

Aber sonst so:


$$\frac{1-x^2}{a+ax} + \frac{a+ax}{1-x^2} = \frac{(1-x)(1+x)}{a(1+x)} + \frac{a(1+x)}{(1-x)(1+x)}$$

$$=\frac{1-x}{a} + \frac{a}{1-x} = \frac{(1-x)^2 + a^2}{a(1-x)}$$


Grüße

Answer 2

Macht man das Ganze mal symbolisch, dann erhält man:

$$\frac { a }{ b } +\frac { b }{ a } =\frac { a² }{ ab } +\frac { b² }{ ab } =\frac { a²+b² }{ ab }$$

Sieht nicht so aus, als gäbe es da einen "tollen Trick" ... Also macht man es ganz konventionell unter Zuhilfenahme der dritten binomischen Formel:

$$\frac { 1-{ x }^{ 2 } }{ a+ax } +\frac { a+ax }{ 1-x^{ 2 } } =\frac { (1+x)(1-{ x }) }{ a(1+x) } +\frac { a(1+x) }{ (1+x)(1-x) }$$$$=\frac { (1-{ x }) }{ a } +\frac { a }{ (1-x) } =\frac { (1-{ x })^{ 2 } }{ a(1-x) } +\frac { a^{ 2 } }{ a(1-x) }$$$$=\frac { (1-{ x })^{ 2 }+a^{ 2 } }{ a(1-x) }$$