0 Daumen
573 Aufrufe


Wie kann ich den Binomialkoeffizienten in eine Summe von 2 Binomialkoeff. umschreiben: \( \begin{pmatrix} n+k \\ k-1 \end{pmatrix} \)

Avatar von

Ein bisschen mehr Kontext wäre gut; denn so weiß man

gar nicht, in welche Richtung die Zerlegung gehen soll.

Die Originalaufgabenstellung wäre hilfreich !

Vielen Dank an alle für die hilfreichen Tipps!

Zur genauen Aufgabe: Ich soll die Identität \( \frac{1}{(1-X)^{n+1}} \)=\( \sum\limits_{k=0}^{\infty}{\begin{pmatrix} n+k\\k\end{pmatrix}} \)Xk für alle n∈ℕ0 in ℂ[[X]] zeigen.

Ich habs mit Induktion versucht. IA…IV… und dann der Induktionsschritt: \( \sum\limits_{k=0}^{\infty}{\begin{pmatrix} n+k+1\\k\end{pmatrix}} \)Xk = \( \sum\limits_{k=0}^{\infty}{\begin{pmatrix} n+k\\k-1\end{pmatrix}} \)\( \begin{pmatrix} n+k\\k \end{pmatrix} \) Xk =… =  \( \sum\limits_{k=0}^{\infty}{\begin{pmatrix} n+k\\k-1\end{pmatrix}} \)Xk + \( \sum\limits_{k=0}^{\infty}{\begin{pmatrix} n+k\\k \end{pmatrix}} \)Xk


\( \sum\limits_{k=0}^{\infty}{\begin{pmatrix} n+k\\k \end{pmatrix}} \)Xk ist ja nach IV  \( \frac{1}{(1-X)^{n+1}} \).

Und ich habe versucht   \( \sum\limits_{k=0}^{\infty}{\begin{pmatrix} n+k\\k-1\end{pmatrix}} \)Xk zu vereinfachen, indem ich \( \begin{pmatrix} n+k\\k-1 \end{pmatrix} \) geschickt umschreibe…

Habe meine Antwort geändert.

3 Antworten

0 Daumen
 
Beste Antwort

Ich würde die Originalaufgabe ganz anders angehen:

Im Potenzreihenring gilt$$\frac{1}{1-X}=\sum_{k=0}^{\infty}X^k$$Nun differenziere beide Seiten \(n\)-mal, dann steht die

Behauptung fast da:

Die n-te Ableitung der linken Seite ist$$\frac{n!}{(1-X)^{n+1}}$$Die (gliedweise) n-te Ableitung der rechten Seite ist$$\sum_{k=0}^{\infty} (k+1)(k+2)\cdots (k+n)X^k$$Nun bedenke$$(k+1)(k+2)\cdots(k+n)/(n!)=(n+k)!/(k!n!)={{n+k}\choose {k}}$$

Avatar von 29 k
+1 Daumen

Das Problem ist dort gibt es ja nicht nur eine Möglichkeit sondern eigentlich unendlich viele.

(n + k über k - 1) = (n + k über n + 1) = (n + k - 1 über n) + (n + k - 1 über n + 1)

Weißt du, worauf das Ganze hinauslaufen soll?

Avatar von 477 k 🚀
sondern eigentlich unendlich viele.

Das wollte ich eigentlich schon als falsch erklären, aber du hast recht.

Jeder beliebige Binomialkoeffizient hat irgendeinen Wert a,

und natürliche Zahlen a lassen sich in der Regel darstellen als

\( \begin{pmatrix} a-1 \\ 1 \end{pmatrix} \)+\( \begin{pmatrix}b\\ 0 \end{pmatrix} =(a-1)+1\), wobei es für b unendlich viele Möglichkeiten gibt.

Ich unterstelle aber mal, dass du DARAN nicht gedacht hast.

Ansonsten gibt es nur ENDLICH viele Möglichkeiten, eine Zahl in einer konkreten Zeile des Pascalschen Dreieck als Summe in Zeilen darüber stehender Zahlen dieses Dreiecks darzustellen.

0 Daumen

Du kennst die Bildungsvorschrift einer Zahl im Pascalschen Dreieck als Summe der beiden darüberstehenden Zahlen?

Avatar von 53 k 🚀

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community