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Aufgabe:

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Aufgabe \( 2.12 \)
(a) Die Basis bei diesen rechtwinkligen Dreiecken misst jeweils 4. Studieren Sie die Entwicklung der schraffierten Fläche.
(b) Vervollständigen Sie die Wertetabelle.
\( a_{n}= \) Anzahl aller eingezeichneten Quadrate
\( A_{n}= \) schraffierte Fläche, d.h. Fläche aller Quadrate
\begin{tabular}{|l|l|l|l|l|l|l|}
\hline\( n \) & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline\( a_{n} \) & 2 & 6 & 14 & 30 & 62 & 126 \\
\hline\( A_{n} \) & \( \frac{4}{2} \) & \( \frac{6}{2} \) & \( \frac{7}{2} \) & & & \\
\hline
\end{tabular}
(c) Geben Sie jeweils einen Term an, mit dem \( a_{n} \) und \( A_{n} \) bei der \( n \)-ten Figur berechnet werden kann.
(d) Welchem Wert nähert sich \( A_{n} \), wenn \( n \rightarrow \infty \) ?
Lösung auf S. 63


Problem/Ansatz:

Schönen Abend euch allen, erneut muss ich ne Frage stellen... Weiss jemand wie ich hier den Quotienten rauskriege ohne TR? Kriege das iwie einfach nicht hin :/ (Lösungen sind vorhanden)

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Weiss jemand wie ich hier den Quotienten rauskriege ohne TR?

In der Aufgabe wird nirgendwo nach einem Quotienten gefragt. Daher ist deine Frage unverständlich. Formuliere dein Anliegen genauer.

1 Antwort

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Beste Antwort

A1 = 2
A2 = A1 + 4 * 1/4 = 3
A3 = A2 + 8 * 1/16 = 7/2 = 3.5
A4 = A3 + 16 * 1/64 = 15/4 = 3.75

Kannst du das Muster erkennen?

An = 4 - 4·0.5^n

Avatar von 477 k 🚀

Das macht Sinn, jedoch verstehe ich nicht ganz, wie ich am Besten auf solche Muster komme - sprich, ich habe kein systematisches Vorgehen

Wie kommst du zum Beispiel auf die allgemeine Formel An = 4 - 4·0.5n ?

Wie kommst du zum Beispiel auf die allgemeine Formel

Man erkennt den Grenzwert 4 doch recht schnell. Und du erkennst das der Abstand zur 4 exponentiell abnimmt

A1 = 2 = 4 - 2
A2 = 3 = 4 - 1
A3 = 3.5 = 4 - 0.5
A4 = 3.75 = 4 - 0.25

An = 4 - 4 / 2^n oder eben 4 - 4*0.5^n

Kannst du das sehen oder eher nicht? Du hattest sicher schon Exponentialfunktionen oder?

Ja hab es jetzt verstanden, vielen Dank :)

Wie kommt man auf die Formel von a_n?

2 * 2 +2 = 6
6 * 2 + 2 = 14
14 *2 +2 =30
30 * 2 +2 = 62
62 * 2 +2 = 126

Ein Muster hab ich schon mal erkannt.


Addiere mal zu jeder Zahl 2 und schreibe die Reihe darunter

6 14 30 62 126

8 16 32 64 128

Oh, das kommt uns bekannt vor. Also ist die Reihe einfach

an = 4·2^n - 2

Ein guter Tipp ist immer mit einer Differenzenfolge zu beginnen. Daraus kann man meist erkennen, um welche Art von Folge es sich handelt.

Bilde also immer die Differenz aus 2 Zahlen und schreibe die Differenzen darunter

6 14 30 62 126

8 16 32 64

Hier siehst du jetzt deutlich ein exponentielles Wachstum in der Differenzenfolge. Also kann man einen exponentiellen Zusammenhang der Originalfolge vermuten.

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