Sinus- Kosinusfunktion Nullstellen/Periode

Question

Guten Mittag

Ich brauche Hilfe bei einer Aufgabe:

b)Es ist die Funktion g(x)=sin(x)+cos(x) gegeben. Ich muss die Periode und Wertemenge von g angeben. Ich glaube diese ist 2π aber bei der Wertemenge weiß ich nichts.

c)Dann noch die Nullstellen angeben im Intervall(-π;2π)

d)Welche Symmetrien zeigt der Graph der Funktion g

Könnte mir jemand dabei helfen.Lg

Answer 1

Hallo,

Willkommen in der Mathelounge!

b) Es ist die Funktion g(x)=sin(x)+cos(x) gegeben. Ich muss die Periode und Wertemenge von g angeben. Ich glaube diese ist 2π aber bei der Wertemenge weiß ich nichts.

Wenn jede Funktion in einer Summe die Periode $2\pi$ hat, so hat die Summe selbst auch wieder die Periode $2\pi$. Und das ist hier der Fall.

Um die Wertemenge zu bestimmen, zeichne Dir zunächst den Graphen der Funktion:

Plotlux öffnen

f₁(x) = sin(x)+cos(x)

sieht aus, wei eine 'normale' Schwingung mit Hoch- und Tiefstellen. Und die Wertemenge sind die Funktionswerte, die sich zwischen diesen Minima und Maxima befinden. Also eine Möglichkeit wäre, diese Stelle zu bestimmen, indem man $g(x)$ ableitet.$$g'(x) = \cos(x) - \sin(x) \to 0 \implies \sin(x_e) = \cos(x_e)$$also die Extremstellen befinden sich dort, wo die Werte von Sinus und Cosinus gleich sind.

Es ist immer gut, sich im Einheitskreis auszukennen, dann weiß man, dass dies bei $$x_e=\frac\pi4 + k\pi, \quad k \in \mathbb Z \quad\quad \left(\frac\pi4 = 45°\right)$$der Fall ist. Und dort ist $g(x_e) = \pm \sqrt 2$. Also ist $$\mathbb W = \left\{x :\space -\sqrt 2 \le x \le \sqrt 2 \right\}$$Alternativ kannst Du versuchen, folgende Gleichung nach $a$ und $p$ aufzulösen:$$g(x)= \sin(x) + \cos(x) = a\cos\left(x - p\right)$$

c) Dann noch die Nullstellen angeben im Intervall(-π;2π)

Setze $g(x)=0$. Also muss dort $\sin(x_0)=-\cos(x_0)$ gelten. Versuche es mal selber!

d) Welche Symmetrien zeigt der Graph der Funktion g

$g(x)$ ist punktsymmetrisch zu jeder Nullstelle und achsensymmetrisch zur Orthogonalen an jeder Extremstelle.

Gruß Werner

Comments

Hallo, wir müssen die Nullstellen nicht berechnen, das hatten wir noch gar nicht, wir müssen sie nur angeben. Ich habe bis jetzt diese Nullstellen gefunden. -π/4; 3/4π; und 7/4π. Stimmt das?

$g$ hat unendlich viele Nullstellen. Gefragt ist nur nach denen im Intervall $[-\pi,\,2\pi]$. Die drei stimmen!

(wirklich $[-\pi,\,{\color{red}2}\pi]$ ?)

---

ja -π, 2π, ist richtig

Um die Nullstellen anzugeben schreibe ich g(3/4π)=0 oder anders.

Und vielen Dank für die schnelle Antwort

---

Um die Nullstellen anzugeben schreibe ich g(3/4π)=0

Ja - das kann man so schreiben.

Answer 2

aber bei der Wertemenge weiß ich nichts.

Beim Maximum und beim Minimum ist die erste Ableitung gleich null.

Comments

was genau heißt das für die Wertemenge?

---

Die Werte liegen nicht unter dem Minimum und nicht über dem Maximum. Daum heißen jene so.

Answer 3

Hallo

Aufgabe c)

sin(x) +cos(x)=0 | -sin(x)

cos(x)= -sin(x) |: cos(x) ≠0

1= -tan(x)

x=(3 π)/4 +k π ; k ∈ G

-->Nullstellen im angegebenen Intervall:

k= 0 : 135°

k=1 :  315°

k=-1 : -45°

Comments

Hallo, wir müssen die Nullstellen nicht berechnen, das hatten wir noch gar nicht, wir müssen sie nur angeben. Ich habe bis jetzt diese Nullstellen gefunden. -π/4; 3/4π; und 7/4π. Stimmt das?

---

Ja, das stimmt.