0 Daumen
278 Aufrufe

Aufgabe:

Gesucht Allgemeine Lösung des homogenen Gleichungssystem

Problem/Ansatz:

Hallo,ich weiss nicht wie ich weiter komme


Gegeben ist :

1  -1  0

1  0  1

1  1  2


Mit Gauss vervahren habe ich

1  -1  0

0  1  1

0  0  0


Was soll man weiter machen ?

Avatar von

2 Antworten

0 Daumen
 
Beste Antwort

Aloha :)

Deine Gauß-Umformungen kann ich bestätigen:$$\begin{array}{rrr|c}x & y & z & =\\\hline\red1 & -1 & \green0 & 0\\\red0 & 1 & \green1 & 0\\\red0 & 0 & \green0 & 0\end{array}$$

Ich habe die Spalten farblich markiert, die genau eine Eins und sonst nur Nullen enthalten. Stelle die Gleichungen nach den Variablen mit dieser Eins um:$$\red x-y=0\implies \red x=y$$$$y+\green z=0\implies \green z=-y$$

Nun kannst du alle Lösungen angeben:$$\begin{pmatrix}\red x\\y\\\green z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}y\\y\\-y\end{pmatrix}=y\cdot\begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix}$$

Avatar von 148 k 🚀

Danke,das war sehr hilfreich,aber letzte Schritt habe ich nicht verstandem,woher kommt y ?

Es ist ja \(x=y\) und \(z=-y\). Dabei ist \(y\) tatsächlich die \(y\)-Koordinate des Lösungspunktes. Du kannst für \(y\) irgendeine reelle Zahl einsetzen. Wenn du möchtest, kannst du \(y\) auch durch eine andere reelle Variable ersetzen, z.B. durch \(t\in\mathbb R\). Aber das ist nur Kosmetik.

+1 Daumen

Die letzte Gleichung sagt: Wert für z ist egal, nenne ihn t.

==>  y+t=0 ==>     y = -t

und ==> x-(-t) = 0 ==>    x = -t

Also sind die Lösungen alle von der Form

( -t ; -t ; t ) = t*(-1;-1;1)

==> (-1;-1;1) ist eine Basis des Lösungraumes.

Avatar von 287 k 🚀

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community