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Wie findet man die kleinste natürliche Zahl mit mehr als n Teilern?
Um die kleinste natürliche Zahl zu finden, die mehr als n Teiler hat, sollte man einige wichtige Prinzipien der Zahlentheorie und Primfaktorzerlegung verstehen. Die Anzahl der Teiler
d(z) einer natürlichen Zahl
z, die in ihrer Primfaktorzerlegung als
z=p1a1⋅p2a2⋅…⋅pkak dargestellt werden kann, berechnet sich durch
d(z)=(a1+1)⋅(a2+1)⋅…⋅(ak+1).
Für eine Zahl, die mehr als
n Teiler hat, muss also gelten:
(a1+1)⋅(a2+1)⋅…⋅(ak+1)>n.
Allgemeine Strategie:
1.
Primfaktoren nutzen: Um die kleinste solche Zahl zu finden, wählt man eine effiziente Kombination von Primfaktoren und ihren Potenzen, die zusammen mehr als
n Teiler erzeugen.
2.
Kleinste Primzahlen bevorzugen: Beginnen Sie mit den kleinsten Primzahlen und steigern Sie deren Exponenten. Kleinere Primzahlen ergeben eine kleinere Zahl, wenn sie als Basis verwendet werden.
3.
Verteilung von Exponenten: Die Exponenten sollten so gewählt werden, dass das Produkt ihrer um 1 erhöhten Werte maximal ist für eine bestimmte Zahl von Teilern.
Detaillierte Erklärung am Beispiel:
1.
Zerlegung der Teilerzahl n: Wenn
n eine Primzahl ist, z.B.
5, dann kann man mit
n+1=6 arbeiten, um eine Zahl
z zu finden, deren Teileranzahl direkt über
n liegt.
2.
Wählen der Primfaktoren und Exponenten: Für
n=125 bekommen Sie direkt
125 Teiler mit
z=24⋅34⋅54, wie im Beispiel angegeben, weil
d(z)=(4+1)(4+1)(4+1)=125. Um jedoch eine kleinere Zahl mit
mehr als
125 Teilern zu finden, muss man die Verteilung der Exponenten ändern.
3.
Effizientere Kombination finden: Wie im Beispiel mit
83160 angegeben, waren die Exponenten gut verteilt, um eine kleinere Zahl mit
128 Teilern zu finden. Die Exponenten müssen nicht unbedingt sehr groß sein; wichtig ist die effiziente Kombination von Exponenten und deren Basis (Primzahlen).
Anwendung der Strategie:
- Für einen gegebenen Wert
n, zerlege
n in Faktoren bzw. finde eine Approximation, die leicht höher als
n ist, durch eine Kombination von
(a1+1)⋅(a2+1)⋅….
- Starte mit den kleinsten Primzahlen
2,3,5,7,… und erhöhe deren Exponenten so, dass das Produkt ihrer um 1 erhöhten Exponenten gerade über
n liegt.
Auf das Beispiel angewandt:
- Das Beispiel mit
83160=23⋅33⋅5⋅7⋅11 demonstriert diesen Ansatz. Durch geschickte Wahl der Primzahlen und deren Exponenten entsteht eine Zahl, die kleiner und effizienter ist als der direkte Ansatz mit
24⋅34⋅54.
Zusammengefasst besteht der Schlüssel darin, eine Balance zwischen der Anzahl der verwendeten Primzahlen und der Größe ihrer Exponenten zu finden, um eine möglichst kleine Zahl mit mehr als
n Teilern zu konstruieren. Statt die Exponenten einer kleinen Anzahl von Primzahlen stark zu erhöhen, ist es oft effizienter, mehrere Primzahlen mit moderaten Exponenten zu kombinieren.