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Aufgabe:

Guten Tag euch allen,


bei folgender Aufgabe zur Mengenlehre geht es um den Wertebereich und die Umkehrfunktion.

Für ein ruhiges Gewissen, wüsste ich gern ob der Ansatz unten Sinn ergibt.



N1 ⊂ N1 → f-1 (N1) ⊂ f-1 (N2)     

Lösungsansatz:

Sei y ∈ N und y ∈ N2 #

Für jedes x ∈ f-1 (N1) existiert ein y ∈ N1 mit x = f-1 (y). Nun gilt #. So dass y ∈ N2 . Also ist x ∈ f-1 (N2


Problem/Ansatz:

Heisst f-1 (N1 ), dass f auf alle Elemente in N1 abbildet?

Und kann man den rot markierten Teil so hinschreiben?


LG

von

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Beste Antwort

Du darfst die Umkehrfunktion nicht mit der

Bezeichnung der Urbildmenge verwechseln.

f-1 (N1 ) ist die Urbildmenge von N1,

das sind alle Elemente von X,

die durch f auf ein Element von N1 abgebildet werden.

Da können auch schon mal mehrere Elemente auf das

gleiche y in N1 abgebildet werden, dann gibt es gar keine

Umkehrfunktion.

Richtig ist: Sei x ∈ f-1 (N1) dann existiert ein

y ∈ N1 mit f(x) = y.

Wegen N1 ⊂ N2 ist dieses y auch in N2 und

wegen y = f(x)  ist also auch x ∈ f-1 (N2)

von 265 k 🚀

Wichtig für die Aufgabe:

f: X → Y ,       N1, N2 ⊂ Y


Also:

N1⊂N2 → f-1  (N1) ⊂ f-1 (N2)

Hab das jetzt öfter auf die Weise gemacht und wollte fragen ob das hier richtig wäre, damit ich das für die nächste Aufgabe weiss, also:


Sei y e N1 und y e N2 #

Für jedes x e f-1  (N1) existiert ein y e N1 mit y = f(x). Nun gilt #, so dass y e N2. Also ist x e f-1 (N2).

Wenn du zeigen willst    f-1 (N1) ⊂ f-1 (N2)

Dann musst du anfangen mit:

Sei x∈    f-1 (N1)

und dann argumentieren, wieso

daraus folgt   x∈    f-1 (N2)

Verstanden. Vielen Dank!

Dumme Frage:

Warum muss man folgendes dann nicht beweisen:

N1⊂ N2


Lg

Es hieß ja:

N1 ⊂ N2 → f-1 (N1) ⊂ f-1 (N2)   

Also in Worten:

Wenn N1 ⊂ N2 dann  f-1 (N1) ⊂ f-1 (N2)

und eine Folgerungsaussage mit falschem Wenn-Teil

ist ja immer wahr.

Man kann also von der Wahrheit des Wenn-Teils ausgehen.

Ja das erklärt so einiges ...

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