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Gegeben ist für jedes t> 0 die funktion f t= 1/t x^4 -2 x^2+t

A). Untersuchen sie k t auf achsenschnittpunkte

B). Die parallele zur x achse durch den schnittpunkt von k t mit der y achse in schneidet kt in zwei weiteren punkten. Berechnen sie deren Koordinaten.
von
Hallo la_ola,

  " A). Untersuchen sie k t auf achsenschnittpunkte "

  was ist das k ???

  mfg Georg
k ist meist die Punktmenge der Kurve einer Funktion f.

1 Antwort

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ft ( x ) = ( 1 / t ) x 4 -2 x 2 + t

Die y-Koordinate des Schnittpunktes mit der y-Achse ist der Funktionswert von ft an der Stelle x = 0 , also:

y = ft ( 0 ) = t

Die Funktion ft schneidet also die y-Achse im Punkt ( 0 | t ).

Die y-Koordinate des Schnittpunktes mit der x-Achse ist gleich Null, also :

ft ( x ) = 0

<=> ( 1 / t ) x 4 - 2 x 2 + t = 0

Multiplikation mit t:

<=>  x 4 - 2 t x 2 + t 2 = 0

<=> ( x 2 - t ) 2 = 0

<=> x 2 - t = 0

<=> x 2 = t

<=> x = - √ t oder x = √ t

Die Funktion ft schneidet also die x-Achse in den Punkten ( - √ t | 0 ) und ( √ t | 0 )

B)

Der Schnittpunkt von ft mit der y-Achse wurde oben berechnet, er lautet: ( 0 | t ) . Die Parallele zur x-Achse durch diesen Punkt hat die Funktionsgleichung pt ( x ) = t

Die x-Koordinaten der Schnittpunkte von ft und pt erhält man durch Gleichsetzen der Funktionsgleichungen und Auflösen nach x, also:

ft ( x ) = pt ( x )

<=> ( 1 / t ) x 4 - 2 x 2 + t = t

<=> ( 1 / t ) x 4 - 2 x 2 = 0

<=> x 2 * ( ( 1 / t ) x 2 - 2 ) = 0

<=> x = 0 oder ( 1 / t ) x 2 - 2 = 0

<=> x = 0 oder ( 1 / t ) x 2 =  2

<=> x = 0 oder x 2 =  2 t

<=> x = 0 oder x = ± √ ( 2 t )

<=> x = 0 oder x = - √ ( 2 t ) oder x = √ ( 2 t )

Die beiden gesuchten zusätzlichen Schnittpunkte haben also die x-Koordinaten x - √ ( 2 t ) bzw. x = √ ( 2 t ). Ihre y-Koordinate ist t, da sie ja auf der Parallelen zur x-Achse durch den Punkt ( 0 | t ) liegen sollen. Diese aber hat überall den Funktonswert t.

Die Schnittpunkte sind daher:

S1 ( - √ ( 2 t ) | t ) bzw. S2 ( √ ( 2 t ) | t ).

 

Hier zur Überprüfung ein Schaubild der Graphen von ft ( x ) und pt  ( x ) für t = 4.

Gemäß den Berechnungen müssen sich die Schnittpunkte mit den Achsen

Sx1 ( - 2 | 0 ) und  Sx2 (  2 | 0 )

ergeben, sowie als zusätzliche Schnittpunkte der Parallelen pt ( x ) mit der Funktion ft ( x ) die Punkte

S1 ( - √ ( 8 ) | 4 ) bzw. S2 ( √ ( 8 ) | 4 )

( √ ( 8 ) ≈ 2,83 )

Das ist der Fall, wie man aus dem Schaubild ablesen kann:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=%281%2F4%29x^4-2x^2%2B4%2C0x%2B4

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