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Aufgabe:

Beweisen oder widerlegen Sie das M für alpha = -4 einen Körper bilden


Problem/Ansatz:

Sei M = {(a,b)|a,b € Q} und alpha € Q

für alle und b sei (a,b) + (c ,d)  = (a + c, b + d)   und (a,b) .(b,c) = (ac + alpha bd , ad +bc)

Ich argumentiere das die Verknüpfung kein Körper ist da es kein neutrales Element der Multiplikation gibt.

Ist das richtig ?

von

Deine Definition der Multiplikation ist unvollständig. Es kommt links kein d vor.

(a,b) .(b,c) = (ac + alpha bd , ad +bc)

Du meinst sicher (a,b)(c,d)=(ac+alpha bd, ad+bc), oder?

Ja so ist es richtig

1 Antwort

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Beste Antwort

Nach Berichtigung deiner Aufgabenstellung solltest

du erkennen, dass \((1,0)\) das neutrale Element der Multiplikation

ist.

von 21 k

Stimmt also doch ein Körper

Wenn die restlichen Körperaxiome erfüllt sind?

Tipp: Das hängt davon ab, was \(\alpha\) ist.

ja das habe ich schon raus z. B. bei (2,1) und (2,-1) und Alpha -4 ergibt die Multiplikation 0, das verstößt gegen das Axiom wen a * b =  0 dann ist entweder a oder b = 0

Das ist ja schon mal ein gutes Beispiel, es muss aber
wohl \(\alpha=4\) statt \(-4\) heißen.

Was kannst du denn über \(\alpha\) sagen, wenn

du \((x,y)(x,-y)=(0,0)\) ansetzt ?

Ich denke alpha muss ungleich dem doppelten von x sein ?

Was hast du denn raus für dieses Produkt?

$$ (x^2 -y^2 ,0) $$

Nein. Es ist \((x^2-\alpha y^2,0)\).

Es gibt also Nullteiler, wenn es rationale Zahlen \(x,y\) gibt

mit \(x^2-\alpha y^2=0\). Was bedeutet das in diesem Falle

für \(\alpha\) ?

Mittlerweile hast du ja die Aufgabenstellung geändert und es

ist nun \(\alpha=-4\) vorausgesetzt.

Ist nun \((a,b)\neq (0,0)\), dann haben wir, um das Inverse \((a,b)^{-1}\),

die Gleichung \((1,0)=(a,b)(x,y)=(ax-4by, ay+bx)\), also das

Gleichungsystem

\(ax-4by=1\)
\(bx+ay=0\).

Die Lösung ist \((x,y)=(\frac{a}{a^2+4b^2},-\frac{b}{a^2+4b^2})\).

Die auftretenden Nenner \(a^2+4b^2\) sind \(> 0\).

Sehr schön, wunderbar erklärt, so macht mathe echt spass.

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