Beweise, dass die folgende Menge abzählbar ist

Question

Aufgabe

Beweise, dass die folgende Menge abzählbar ist:
\( \left\{x \in \mathbb{R} \mid \text { es existieren } a, b \in \mathbb{Z} \text { mit } x^{2}+a x+b=0\right\} \text {. } \)

Problem/Ansatz:

Mir ist bekannt, wie man zeigt, wenn eine Menge abzählbar ist aber ich komme nicht ganz hier draus. Danke!

Answer 1

Es ist \((a,b)\in \mathbb{Z}\times \mathbb{Z}\).

\(\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}\) ist abzählbar.

Jede Gleichung der Form \(x^2 + ax + b = 0\) hat maximal zwei Lösungen in \(\mathbb{R}\).

Also ist

        \( \left\{x \in \mathbb{R} \mid \text { es existieren } a, b \in \mathbb{Z} \text { mit } x^{2}+a x+b=0\right\}\)

abzählbar.