Wie beweise ich, dass eine Menge abzählbar ist?

Question

Hallo :)

Ich habe gerade folgende Aufgabe vor mir liegen und verstehe davon leider nicht sehr viel...

I sei eine Menge, (x_i)_i∈I sei eine Familie in [0,∞] mit ∑_i∈I x_i < ∞. Beweisen Sie, dass { i∈I | x_i ≠ 0} abzählbar ist.

Ich muss zeigen, dass { i∈I | x_i ≠ 0} abzählbar ist. Aber wie genau, weiß ich leider nicht.
Da ∑_i∈I x_i endlich ist, sollte eigentlich auch die Menge der x_i abzählbar sein.
Wie könnte man an die Sache ran gehen? Bzw. was muss man beachten?

:)

Answer 1

Fall 1: I ist abzählbar. Wegen {i∈I | x_i ≠ 0}⊆I ist {i∈I | x_i ≠ 0} auch abzählbar.

Soweit zum trivialen Fall. Kern der Aussage ist Fall 2: I ist überabzählbar. Wenn dann ∑_i∈I x_i < ∞ ist, dann können angeblich nur abzählbar viele x_i ungleich 0 sein.

Es stellt sich dann die Frage, wie ∑_i∈I x_i definiert ist. Bei abzählbaren I ist das der Grenzwert der Partialsummen. Das ergibt bei überabzählbarem I keinen Sinn.

Also, schau in die Definition von ∑_i∈I x_i für überabzählbare I und guck ob du daraus etwas basteln kannst.

Comments

Okay :)

Ich habe mal nachgeschlagen was ∑_i∈I x_i bedeutet:

$$\sum _{ i\in I }^{  }{ { x }_{ i }:=sup } \left\{ { \sum _{ i\in I'  }^{  }{ { x }_{ i } }  }|{ I' \subseteq I\quad ist\quad endlich } \right\} \in \left[ 0,\infty  \right] $$

Fall 1 habe ich soweit nachvollzogen.

Zu Fall 2:

Eine Menge heißt abzählbar, wenn eine Bijektion zur Menge der natürlichen Zahlen existiert. Also um zu zeigen, dass die Menge abzählbar ist, müsste ich doch eigentlich eine Bijektion σ:J→I finden, wobei J eine Menge ist, sodass dann gilt:

$$\sum _{ i\in I }^{  }{ { x }_{ i }=\sum _{ j\in J }^{  }{ { x }_{ \sigma (j) } }  } $$

Aber weil I ja schon endlich ist, kann eine solche Bijektion in die natürlichen Zahlen konstruiert werden, was ja eigentlich bedeutet, dass die Menge I abzählbar ist ⇒ {i∈I | x_i ≠ 0} abzählbar

Ist etwas von meinen Überlegungen richtig? :)